Tutorial – Session 4¶

Kontinuerte fordelinger I: Grundbegreber, PDF, CDF og integraler¶

Teori, Python (SymPy) og WolframAlpha¶

I denne tutorial skifter vi gear fra den diskrete verden (hvor vi talte antal succeser eller fiaskoer) til den kontinuerte verden, hvor variabler kan antage alle mulige værdier i et interval (f.eks. tid, højde, vægt, temperatur).

Fordi der er uendeligt mange mulige decimaltal mellem to tal, er sandsynligheden for at ramme ét helt specifikt tal præcis nul: $P(X=a) = 0$. I stedet beregner vi sandsynligheden for, at et udfald lander i et interval. Dette gør vi ved at beregne arealet under en kurve ved hjælp af integralregning.

Vi arbejder systematisk med:

PDF (Probability Density Function) – Tæthedsfunktionen, der udgør kurven.
CDF (Cumulative Distribution Function) – Fordelingsfunktionen, der summerer arealet.
Middelværdi og varians – Beregnet med integraler i stedet for summer.
Fraktiler og median – At finde den $x$-værdi, der svarer til et bestemt areal.
Den Kontinuerte Uniforme Fordeling – Vores første standardiserede kontinuerte fordeling.

For at løse integraler og ligninger bruger vi biblioteket SymPy i Python (til symbolsk matematik) samt WolframAlpha.

Notebook-version: Tutorial_4_notebook.ipynb

1. Begreber: PDF og CDF¶

For en kontinuert stokastisk variabel $X$ bruger vi en tæthedsfunktion $f(x)$ i stedet for den diskrete PMF.

Begreb	Forkortelse	Matematisk	Spørgsmål
Probability Density Function	PDF	$f(x)$	Hvordan er "sandsynlighedsmassen" fordelt over talaksen? (Bemærk: $f(x)$ er ikke en sandsynlighed i sig selv, men en tæthed).
Cumulative Distribution Function	CDF	$F(x)=P(X\leq x)$	Hvad er sandsynligheden for at udfaldet er $x$ eller mindre? (Dette er arealet under kurven op til $x$).

Tre vigtige regler for PDF'en $f(x)$: 1. $f(x) \geq 0$ for alle $x$ (kurven må aldrig gå under x-aksen). 2. Det samlede areal under kurven er præcis 1: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$. 3. Sandsynligheden for et interval findes ved at integrere tæthedsfunktionen over dette interval: $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx$.

Sammenhængen mellem PDF og CDF: Fordelingsfunktionen (CDF) er simpelthen integralet af PDF'en fra starten (ofte $-\infty$) op til $x$: $$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$$

Det betyder også, at vi kan finde en intervalsandsynlighed på to måder: $$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

2. Python Setup (SymPy)¶

Da vi skal arbejde med matematiske funktioner, symboler (som $x$) og integraler, bruger vi SymPy. Det tillader os at regne med brøker og symboler præcis ligesom vi ville gøre det på papir.

import sympy as sp
sp.init_printing() # Gør outputtet pænt at se på i Jupyter

# Vi opretter de matematiske symboler vi skal bruge
x, t, c = sp.symbols('x t c', real=True)

3. Gyldig PDF: Normalisering og ukendte konstanter¶

3.1 Teori¶

Ofte får vi opgivet en funktion med en ukendt konstant, og vi skal finde konstanten, så funktionen bliver en gyldig PDF.

Lad os antage, at vi har funktionen: $$f(x)=\begin{cases} cx, & 0 \leq x \leq 2\\ 0, & \text{ellers} \end{cases}$$

For at være en gyldig PDF skal det samlede areal være 1: $$\int_0^2 cx\,dx = 1$$

Vi udregner integralet: $$\left[ c \cdot \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = c \cdot \frac{2^2}{2} - 0 = 2c$$

Vi sætter arealet lig 1: $$2c = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{2}$$

Dermed er vores gyldige PDF: $$f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & 0 \leq x \leq 2\\ 0, & \text{ellers} \end{cases}$$

3.2 Python (SymPy)¶

Vi kan lade SymPy løse ligningen for os. Her er et par vigtige SymPy-funktioner, vi bruger: - sp.integrate(funktion, (variabel, start, slut)) beregner det bestemte integral. - sp.Eq(venstre, højre) opretter en matematisk ligning ($=$). Vi bruger Eq i stedet for ==, da vi ønsker at definere en symbolsk ligning, der skal løses, og ikke bare teste om to sider er ens. - sp.solve(ligning, variabel) løser ligningen for den valgte variabel. Den returnerer en liste med alle mulige løsninger. Da vi kun forventer én løsning, tager vi det første element med [0].

# Sæt ligningen op: integrate(c*x fra 0 til 2) = 1
# sp.Eq(venstre_side, højre_side)
ligning = sp.Eq(sp.integrate(c*x, (x, 0, 2)), 1)

# Løs ligningen for c
c_value = sp.solve(ligning, c)[0]
print(f"c = {c_value}")

Vi kan også bede SymPy verificere, at arealet nu er 1:

areal = sp.integrate(x/2, (x, 0, 2))
print(f"Samlet areal: {areal}")

3.3 WolframAlpha¶

I WolframAlpha kan vi skrive det næsten som vi tænker det:

solve(integrate(c*x, x, 0, 2)=1, c)

integrate(x/2, x, 0, 2)

4. Fra PDF til CDF (Stykkevis funktion)¶

4.1 Teori¶

For at finde den generelle formel for CDF'en $F(x)$, skal vi integrere PDF'en op til et generelt punkt $x$.

For vores PDF $f(x) = \frac{x}{2}$ (når $x$ er mellem 0 og 2): $$F(x) = \int_0^x \frac{t}{2}\,dt = \left[ \frac{t^2}{4} \right]_0^x = \frac{x^2}{4}$$

(Bemærk at vi bruger $t$ som "dummy"-variabel i integralet, så vi kan bruge $x$ som den øvre grænse).

En CDF skal dog dække hele talaksen fra $-\infty$ til $\infty$, så den korrekte matematiske (og stykkevise) opskrivning er: $$F(x)=\begin{cases} 0, & x < 0\\ \frac{x^2}{4}, & 0 \leq x \leq 2\\ 1, & x > 2 \end{cases}$$

4.2 Python (SymPy)¶

Vi kan integrere og bygge en stykkevis funktion i SymPy. - Funktionen sp.Piecewise((udtryk1, betingelse1), (udtryk2, betingelse2), ...) lader os definere en stykkevis funktion. - SymPy tjekker betingelserne én efter én, fra venstre mod højre, og returnerer det udtryk, hvor betingelsen først er sand. - Betingelsen True til sidst fungerer som "ellers" (else).

# Beregn det indre integral
F_inner = sp.simplify(sp.integrate(t/2, (t, 0, x)))
print(f"Indre CDF: {F_inner}")

# Opbyg den fulde stykkevise CDF
F = sp.Piecewise(
    (0, x < 0),
    (x**2/4, (x >= 0) & (x <= 2)),
    (1, True)
)
F

4.3 WolframAlpha¶

WolframAlpha kan integrere for os:

integrate(t/2, t, 0, x)

5. Sandsynligheder: Integralmetode vs. CDF-metode¶

5.1 Teori¶

Vi vil gerne finde sandsynligheden for, at $X$ falder mellem 0.5 og 1.5, altså $P(0.5 \leq X \leq 1.5)$.

Vi har to redskaber:

1. Integral direkte fra PDF: Vi integrerer tæthedsfunktionen over det ønskede interval: $$P(0.5 \leq X \leq 1.5) = \int_{0.5}^{1.5}\frac{x}{2}\,dx$$

2. CDF-forskel: Hvis vi allerede kender CDF'en $F(x) = \frac{x^2}{4}$, kan vi bruge, at arealet på et interval er forskellen mellem de to akkumulerede arealer: $$P(0.5 \leq X \leq 1.5) = F(1.5) - F(0.5) = \frac{1.5^2}{4} - \frac{0.5^2}{4}$$

Begge metoder skal give præcis samme resultat. Det er oftest hurtigst at bruge metoden, hvor man allerede har funktionen klar.

5.2 Python (SymPy)¶

Her bruger vi to nye funktioner: - sp.Rational(tæller, nævner) opretter en eksakt brøk (f.eks. ½) i stedet for decimaltallet 0.5. Dette forhindrer afrundingsfejl, når vi regner symbolsk. - .subs(gammel, ny) (substitution) erstatter et symbol med en specifik værdi. cdf_expr.subs(x, sp.Rational(3,2)) betyder "sæt $x = 1.5$ ind i formlen for CDF'en".

# Metode 1: Integral (vi bruger brøker for præcision)
p_int = sp.integrate(x/2, (x, sp.Rational(1,2), sp.Rational(3,2)))

# Metode 2: CDF (indsæt 3/2 og 1/2 i F_inner funktionen og find forskellen)
cdf_expr = x**2/4
p_cdf = cdf_expr.subs(x, sp.Rational(3,2)) - cdf_expr.subs(x, sp.Rational(1,2))

print(f"Sandsynlighed via integral: {p_int}")
print(f"Sandsynlighed via CDF: {p_cdf}")

(Begge giver $1/2 = 0.5$)

5.3 WolframAlpha¶

Integral-metoden:

integrate(x/2, x, 0.5, 1.5)

CDF-metoden:

(1.5^2 / 4) - (0.5^2 / 4)

6. Middelværdi og Varians for kontinuerte variable¶

6.1 Teori¶

I den diskrete verden beregnede vi forventningsværdi ved at gange hvert udfald med sin sandsynlighed og lægge dem sammen ($E[X] = \sum x \cdot P(x)$).

I den kontinuerte verden udskifter vi summen med et integral og sandsynligheden med tæthedsfunktionen: $$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)\,dx$$

Ligesom før kan vi finde variansen ved hjælpeformlen: $$\mathrm{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$$ hvor $$E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x)\,dx$$

Lad os beregne det for vores funktion $f(x) = x/2$ på intervallet $[0,2]$: $$E[X] = \int_0^2 x \cdot \left(\frac{x}{2}\right)\,dx = \int_0^2 \frac{x^2}{2}\,dx = \left[ \frac{x^3}{6} \right]_0^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

\[E[X^2] = \int_0^2 x^2 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)\,dx = \int_0^2 \frac{x^3}{2}\,dx = \left[ \frac{x^4}{8} \right]_0^2 = \frac{16}{8} = 2\]

\[\mathrm{Var}(X) = 2 - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 2 - \frac{16}{9} = \frac{18}{9} - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}\]

6.2 Python (SymPy)¶

SymPy gør det nemt at håndtere brøkerne uden afrundingsfejl:

# E[X]
EX = sp.integrate(x * (x/2), (x, 0, 2))

# E[X^2]
EX2 = sp.integrate(x**2 * (x/2), (x, 0, 2))

# Varians
VarX = sp.simplify(EX2 - EX**2)

print(f"E[X] = {EX}")
print(f"E[X^2] = {EX2}")
print(f"Var(X) = {VarX}")

6.3 WolframAlpha¶

Middelværdi $E[X]$:

integrate(x * (x/2), x, 0, 2)

Forventet værdi af $X$ kvadreret $E[X^2]$:

integrate(x^2 * (x/2), x, 0, 2)

Varians $\mathrm{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$:

integrate(x^2*(x/2), x, 0, 2) - (integrate(x*(x/2), x, 0, 2))^2

7. Fraktiler og Median¶

7.1 Teori¶

En fraktil (eller percentil) besvarer spørgsmålet: "For hvilken værdi af $x$ er det akkumulerede areal (sandsynligheden) præcis $p$?"

Matematisk betyder det at vi skal løse ligningen: $$F(x) = p$$

Medianen er den midterste værdi, dvs. 50%-fraktilen ($p=0.5$). For at finde medianen $m$ i vores eksempel løser vi: $$F(m) = 0.5 \Rightarrow \frac{m^2}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow m^2 = 2 \Rightarrow m = \sqrt{2} \approx 1.414$$ (Vi forkaster den negative løsning $m = -\sqrt{2}$, da vores PDF kun er defineret for $0 \leq x \leq 2$).

7.2 Python (SymPy)¶

# Vi definerer symbolet m
m = sp.symbols('m', real=True)

# Løs ligningen F(m) = 0.5
loesninger = sp.solve(sp.Eq(m**2/4, sp.Rational(1,2)), m)

print(f"Matematiske løsninger for medianen: {loesninger}")
# Vi kan evaluere til decimaltal:
print(f"Gyldig løsning som decimal: {loesninger[1].evalf():.4f}")

7.3 WolframAlpha¶

solve(x^2 / 4 = 0.5, x)

8. Den Kontinuerte Uniforme Fordeling¶

8.1 Teori¶

Den simpleste kontinuerte fordeling er den kontinuerte uniforme fordeling. Her er al sandsynlighed jævnt fordelt mellem en nedre grænse $a$ og en øvre grænse $b$. Den skrives som $X \sim U(a,b)$.

Eksempel: En bus ankommer et tilfældigt sted mellem kl. 10:00 og 10:10. Ventetiden $X$ (i minutter) er uniformt fordelt mellem 0 og 10, altså $X \sim U(0, 10)$.

Parametre: - $a$: nedre grænse - $b$: øvre grænse

Tæthedsfunktion (PDF): Højden af kassen skal være sådan, at arealet (bredde $\times$ højde) bliver 1. Bredden er $(b-a)$, så højden (PDF'en) er: $$f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b$$

Fordelingsfunktion (CDF): $$F(x) = \frac{x-a}{b-a}, \quad a \leq x \leq b$$

Middelværdi og Varians: $$E[X] = \frac{a+b}{2}, \quad \mathrm{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$$

8.2 Python (SciPy)¶

For standardfordelinger skifter vi fra SymPy tilbage til SciPy (ligesom vi brugte binom og poisson tidligere). Den kontinuerte uniforme fordeling hedder uniform i SciPy.

Syntaksen er lidt speciel: Vi skal angive startpunkt loc ($a$) og bredden scale ($b-a$). For $U(0, 10)$ er loc=0 og scale=10. For $U(5, 15)$ er loc=5 og scale=10.

from scipy.stats import uniform

# Vi betragter en ventetid X ~ U(0, 10)
a = 0
b = 10
bredde = b - a

# Hvad er sandsynligheden for at vente mindre end 3 minutter? P(X <= 3)
p_mindre_end_3 = uniform.cdf(3, loc=a, scale=bredde)
print(f"P(X <= 3) = {p_mindre_end_3}")

# Hvad er sandsynligheden for at vente mellem 4 og 7 minutter? P(4 <= X <= 7)
p_mellem_4_og_7 = uniform.cdf(7, loc=a, scale=bredde) - uniform.cdf(4, loc=a, scale=bredde)
print(f"P(4 <= X <= 7) = {p_mellem_4_og_7}")

# Hvad er middelværdien?
print(f"E[X] = {uniform.mean(loc=a, scale=bredde)}")

8.3 WolframAlpha¶

WolframAlpha forstår fordelingen direkte:

CDF $P(X \leq 3)$ for $U(0,10)$
```
P(X<=3) UniformDistribution(0, 10)
```
Middelværdi
```
mean UniformDistribution(0, 10)
```

9. Opsummering – Hvad du nu skal kunne¶

Efter denne tutorial og session kan du:

Forstå forskellen på den diskrete verden (hvor vi kan udpege sandsynligheden for et specifikt tal) og den kontinuerte verden (hvor vi måler arealer og intervaller).
Skelne mellem PDF $f(x)$ (højden af kurven) og CDF $F(x)$ (det akkumulerede areal).
Kontrollere om en funktion er en gyldig PDF ved at integrere den fra $-\infty$ til $\infty$ (skal give 1).
Beregne interval-sandsynligheder $P(a \leq X \leq b)$ ved hjælp af enten integration af PDF'en eller som $F(b) - F(a)$.
Udregne forventningsværdi og varians ved at integrere henholdsvis $x \cdot f(x)$ og $x^2 \cdot f(x)$.
Finde en fraktil (f.eks. medianen) ved at løse ligningen $F(x) = p$.
Arbejde med den Kontinuerte Uniforme Fordeling, både formelmæssigt og via SciPy (uniform) eller WolframAlpha.

Begreb	Forkortelse	Matematisk	Spørgsmål
Probability Density Function	PDF	\(f(x)\)	Hvordan er "sandsynlighedsmassen" fordelt over talaksen? (Bemærk: \(f(x)\) er ikke en sandsynlighed i sig selv, men en tæthed).
Cumulative Distribution Function	CDF	\(F(x)=P(X\leq x)\)	Hvad er sandsynligheden for at udfaldet er \(x\) eller mindre? (Dette er arealet under kurven op til \(x\)).