Gå til indholdet

Kontinuerte fordelinger I: grundbegreber og modeller

Sessionsmateriale:

Ross: 4.1., 4.2., 4.4., 4.6. (fokus på det kontinuerte).

Videoserien giver en hurtig gennemgang af kontinuerte fordelinger, og er en god introduktion til emnet og kan bruges som erstatning for læsestoffet.

Python tutorial
Se Tutorial 4: Kontinuerte fordelinger I (foundations)

Download tutorial som notebook (.ipynb)

Se tutorial som markdown

Recap og øvelser

Sessionnoter

Video Materiale:

Continuous Probability Distributions (1-4)

Playliste med 10 videoer, der dækker kontinuerte fordelinger - også til session 5.

Sessionbeskrivelse

I denne session skifter vi gear fra den diskrete verden (hvor vi tæller antal) til den kontinuerte verden (hvor vi måler størrelser som tid, højde, temperatur eller strøm). Det betyder, at vi matematisk går fra at bruge summer (\(\sum\)) til at bruge integraler (\(\int\)). Vi genbesøger begreberne tætheds- og fordelingsfunktioner, men nu med fokus på, at sandsynligheden for et enkelt punkt i en kontinuert fordeling altid er 0 – i stedet regner vi på intervaller og arealer under kurven.

Fokus i denne session er derfor generelle principper for kontinuerte fordelinger: hvordan man læser en tæthedsfunktion, hvordan man bruger CDF'en, og hvordan forventningsværdi/varians defineres via integraler. Vi træner modeltænkning og fortolkning på tværs af kontinuerte fordelinger, så fundamentet er stærkt, før vi dykker ned i specifikke standardfordelinger i næste session.

Centrale begreber

  • Fra diskret til kontinuert: Areal som sandsynlighed
  • Kontinuert tæthedsfunktion: \(f(x)\) og betingelsen \(\int f(x)dx = 1\)
  • Fordelingsfunktion (CDF): \(F(x)=P(X\leq x)\) for kontinuerte variable
  • Middelværdi og varians: Defineret via integraler
  • Modelvalg: Hvornår en kontinuert model giver mening i praksis

Læringsmål

  • Forstå forskellen på sandsynlighedsberegning for diskrete og kontinuerte variable.
  • Kunne beregne sandsynligheder som arealer under tæthedsfunktionen ved hjælp af integration (for simple funktioner).
  • Kunne bruge både PDF og CDF korrekt i beregninger.
  • Kunne beregne forventningsværdi og varians for simple kontinuerte fordelinger.
  • Opbygge et stærkt fundament til normal- og eksponentialfordelingen i næste session.

Øvelser

Bemærk: Alle dagens øvelser er taget fra eksamensopgaver. Du kan derfor forvente lignende opgaver på eksamen.

Øvelse 1

Let \(X\) denote a continuous stochastic variable with the following probability density function:

\[ f(x) = \begin{cases} c x^4 & \text{for } -1 \leq x \leq 1, \\ 0 & \text{otherwise,} \end{cases} \]

where \(c\) is a constant.

  1. Show that the cumulative probability function of \(X\) is:

    \[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{for } x < -1, \\ \frac{1}{5} c\left(x^5 + 1\right) & \text{for } -1 \leq x \leq 1, \\ 1 & \text{for } x > 1. \end{cases} \]

  2. Determine the constant \(c\) and restate both the probability density function and the cumulative probability function using the actual value of \(c\).

  3. Compute \(P\left(-\frac{1}{2} < X < \frac{1}{2}\right)\) and \(P(X > 0)\).

  4. Find the expected value and variance of \(X\).

 
  1. Can be shown either by integrating the probability density function or by differentiating the cumulative probability function.
  2. \(c = \frac{5}{2}\)
  3. \(P\left(-\frac{1}{2} < X < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{32} = 0.0315\) and \(P(X > 0) = \frac{1}{2} = 0.5\)
  4. \(E[X] = 0\) and \(VAR(X) = \frac{5}{7}\)

Øvelse 2

Let \(X\) denote a continuous stochastic variable with the following density function

\[ f(x)= \begin{cases}c\left(1-x^2\right) & \text { for }-1<x<1 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases} \]
  1. Determine the value of \(c\) and state the cumulative distribution function of \(X\).
  2. Determine \(P\left(X \leq \frac{1}{2}\right)\) and \(P\left(X \leq-\frac{1}{4}\right)\)
  3. Determine the expected value and the variance of \(X\).
 

a. \(c = \frac{3}{4}\) and \(F(x) = \begin{cases}0 & \text { for } x<-1 \\ \frac{3}{4}\left(x-\frac{x^3}{3}\right) + \frac{1}{2} & \text { for }-1 \leq x \leq 1 \\ 1 & \text { for } x>1\end{cases}\)

b. \(P\left(X \leq \frac{1}{2}\right) = 0.8438\) and \(P\left(X \leq-\frac{1}{4}\right) = 0.3164\)

c. \(E[X] = 0\) and \(VAR(X) = 0.2\)

Øvelse 3

Compute the expected value, \(E(X)\), if \(X\) has a density function as follows:

  1. \(f(x)= \begin{cases}\frac{1}{4} x e^{-\frac{x}{2}} & x>0 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}\)

  2. \(f(x)= \begin{cases}5 x^{-2} & x>5 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}\)

    The density function of \(X\) is given by

    \[ f(x)= \begin{cases}a+b x^2 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases} \]

  3. If \(E(X)=\frac{3}{5}\), find \(a\) and \(b\).

Answer
  1. \(E(X) = 4\)
  2. \(E(X) = \infty \)
  3. \(a = \frac{3}{5}\) and \(b = \frac{6}{5}\)

Øvelse 4

The length of time \(X\) (in hours), needed by students in the STA1 course to complete the three-hour Part 1 exam is a continuous random variable with the following density function:

\[ f(x) = \begin{cases} q\left(x^2 + x\right) & \text{if } 0 \leq x \leq 3, \\ 0 & \text{else}. \end{cases} \]

  1. Find the value of \(q\) that makes \(f(x)\) a probability density function.

  2. Find the cumulative distribution function.

  3. Find the probability that a student will complete the Part 1 exam in:

    • (i) Less than an hour.
    • (ii) Between one and two hours.
    • (iii) More than two hours.
    • (iv) During the final ten minutes of the exam.

  4. Find the mean time needed to complete the three-hour STA1 Part 1 exam.

  5. Find the variance and standard deviation of \(X\).

Answer
  1. \(q = \frac{2}{27} \approx 0.0741\)
  2. \(F(x) = \begin{cases}0 & \text{if } x < 0, \\ \frac{2 x^3}{81}+\frac{x^2}{27} & \text{if } 0 \leq x \leq 3, \\ 1 & \text{if } x > 3.\end{cases}\)
  3. (i) \(P(X<1)=5 / 81=0.0617\), (ii) \(P(1<X<2)=23 / 81=0.284\), (iii) \(P(X>2)=53 / 81=0.6543\), (iv) \(P(X>17 / 6)=0.1411\)
  4. \(E[X] = 13/6 =2.1667 \text { hours } \)
  5. \(\operatorname{Var}(X)=0.4056\) hours \(^2\) and \(\mathrm{SD}(X)=0.6368\) hours