Polære koordinater
Forberedelse¶
3DM: Kapitel 7
I skal have set videoerne fra den aktuelle session. Dette udgør som minimum jeres forberedelse til hver session. Hertil kan I også læse i bogen.
Materiale¶
Øvelsesnoter - tilgængelige mandag
Kort om sessionen¶
Denne session omhandler de polære koordinatsystemer i både 2D og 3D og præsenterer de fundamentale koncepter bag brugen af vinkler og afstande til at beskrive positioner og vektorer. Vi kigger på hvordan man
- Bruger polære koordinater til at lokalisere punkter i et todimensionelt rum, herunder omregning til og fra kartesiske koordinater med formler som \( x = r \cos\theta \) og \( y = r \sin\theta \).
- Håndterer aliasering, dvs. de multiple måder at repræsentere det samme punkt på, og fastlægger et kanonisk koordinatsæt.
- Udvider begrebet til 3d gennem cylindriske og sfæriske koordinatsystemer
Nøgleord¶
- Polære koordinater
- Kartesiske koordinater
- Aliasering
- Kanoniske koordinater
- Konverteringsalgoritmer
- Sfæriske koordinater
- Cylindriske koordinater
- Gimbal lock
- Vektorrepræsentation
Tutorials¶
Denne gang vil jeg faktisk sige at Tutorials er vigtigere end videoerne. Så prøv at kigge dem igennem.
-
Polære koordinat-systemer er en alternativ metode til at beskrive positioner i rum, som adskiller sig fra det kartesiske koordinatsystem.
-
Ofte er det nødvendigt at kunne skifte mellem det kartesiske koordinatsystem \((x, y)\) og det polære koordinatsystem \((r, \theta)\).
T2: Konvertering mellem Kartesiske og Polære Koordinater i 2D
-
Aliasing betyder, at det samme punkt i rummet kan beskrives ved uendeligt mange forskellige polære koordinatpar. Den kanoniske form er en standardiseret måde at repræsentere et punkt på i polære koordinater.
-
Når vi bevæger os fra 2D til 3D, udvides det polære koordinatsystem til to vigtige koordinatsystemer: cylindriske og sfæriske koordinater.
Videomateriale¶
3Blue1Brown har ikke lavet videoer om polære koordinater, men til gengæld har min kollega Mette lavet tre korte videoer om emnet. Mette har fokus på forståelse af enhedscirklen og på hvordan man går fra polære til kartesiske koordinater og omvendt. Den fjerde video giver en mere visuel forklaring af polære koordinater, og den sidste omhandler 3d polære koordinater og er lidt mere kompleks. Se også ovenstående tutorials.
6.1. Mette Mortensen: Enhedscirklen¶
6.2. Mette Mortensen: Polære koordinater¶
6.3. Mette Mortensen: Eksempler på polære koordinater¶
6.4. Chris Odden: Introduction to polar coordinates¶
6.5. Paul Dawkins: Spherical Coordinates 3D¶
Øvelser¶
Øvelse 1
Kig øvelse 3-10 igennem og kig derefter tutorials igennem. Lav en Jupyter Notebook med kode, der kan løse nedenstående opgaver - de af dem, der har Python løsninger. Hvis ikke der lige er en i Tutorial, så overvej at lave en selv med udgangspunkt i formlerne enten fra tutorial eller fra bogen.
I øvrigt når I arbejder i Jupyter Notebook så gir Pylance extension i VScode en masse fejl om den ene og det andet. Bare ignorér det. Koden virker alligevel. Hvis I er typen, så sig til, så skal jeg nok se om jeg kan få det væk for jer.
Se svaret
Jeg er tom.
Øvelse 2
Plot and label the points with the following polar coordinates (if degrees are not stated, assume radians):
Du kan med fordel bruge noget fra afsnittet om at plotte i Tutorial 2
Se svaret
Øvelse 3
Convert the following 2D polar coordinates to canonical form:
- \(\left(4,207^{\circ}\right)\)
- \((12.6,11 \pi / 4)\)
Se svaret
- \(\left(4,207^{\circ}\right) \equiv\left(4,207^{\circ}-360^{\circ}\right) \equiv\left(4,-153^{\circ}\right)\)
- \((12.6,11 \pi / 4 \mathrm{rad}) \equiv(12.6,11 \pi / 4 \mathrm{rad}-2 \pi \mathrm{rad}) \equiv(12.6,3 \pi / 4 \mathrm{rad})\)
Øvelse 4
Convert the following 2D polar coordinates to Cartesian form:
- \(\left(1,45^{\circ}\right)\)
- \(\left(4,90^{\circ}\right)\)
- \((5.5, \pi)\)
Se svaret
- \(\left(1,45^{\circ}\right)_p \equiv\left(1 \cos 45^{\circ}, 1 \sin 45^{\circ}\right)_c \approx(1 \cdot 0.707,1 \cdot 0.707)_c=(0.707,0.707)_c\)
- \(\left(4,90^{\circ}\right)_p \equiv\left(4 \cos 90^{\circ}, 4 \sin 90^{\circ}\right)_c=(4 \cdot 0,4 \cdot 1)_c=(0,4)_c\)
- \((5.5, \pi \mathrm{rad})_p \equiv(5.5 \cos (\pi \mathrm{rad}), 5.5 \sin (\pi \mathrm{rad}))_c=(5.5 \cdot(-1), 5.5 \cdot(0))_c=(-5.5,0)_c\)
Øvelse 5
Convert the following 2D Cartesian coordinates to (canonical) polar form:
- \((10,20)\)
- \((0,4.5)\)
- \((0,0)\)
Se svaret
-
\((10,20)_c\) :
\[ \begin{aligned} r & =\sqrt{10^2+20^2}=\sqrt{100+400}=\sqrt{500} \approx 22.36 \\ \theta & =\operatorname{atan} 2(20,10)=\arctan (20 / 10) \approx 63.43^{\circ} \\ (10,20)_c & \cong\left(22.36,63.43^{\circ}\right)_p \end{aligned} \] -
\((0,4.5)_c\) :
\[ \begin{aligned} r & =\sqrt{0^2+4.5^2}=4.5 \\ \theta & =\operatorname{atan} 2(0,4.5)=90^{\circ} \\ (4.5,0)_c & \equiv\left(4.5,90^{\circ}\right)_p \end{aligned} \] -
\((0,0)_c \equiv(0,0)_p\)
Øvelse 6
Convert the following cylindrical coordinates to Cartesian form:
- \(\left(4,120^{\circ}, 5\right)\)
- \((3,3 \pi, 1)\)
Se svaret
-
\[ \begin{aligned} & x=r \cos (\theta)=4 \cos \left(120^{\circ}\right)=4(-1 / 2)=-2 \\ & y=r \sin (\theta)=4 \sin \left(120^{\circ}\right)=4(\sqrt{3} / 2)=2 \sqrt{3} \\ & \text { so }(x, y, z)=(-2,2 \sqrt{3}, 5) \end{aligned} \]
-
\[ \begin{aligned} & x=r \cos (\theta)=3 \cos (3 \pi)=3 \cos (\pi)=3(-1)=-3 \\ & y=r \sin (\theta)=3 \sin (3 \pi)=3 \sin (\pi)=3(0)=0 \\ & \text { so }(x, y, z)=(-3,0,1) \end{aligned} \]
Øvelse 7
Convert the following 3D Cartesian coordinates to (canonical) cylindrical form:
- \((1,1,1)\)
- \((0,0,-3)\)
Se svaret
-
\[ \begin{aligned} & r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \\ & \theta=\arctan (1 / 1)=45^{\circ} \\ & \text { so }(r, \theta, z)=\left(\sqrt{2}, 45^{\circ}, 1\right) \end{aligned} \]
-
\[ \begin{aligned} & r=\sqrt{0^2+0^2}=0 \\ & \theta=0, \text { since } x=0 \text { and } y=0 \\ & \text { so }(r, \theta, z)=(0,0,-3) \end{aligned} \]
Øvelse 8
Convert the following spherical coordinates \((r, \theta, \phi)\) to Cartesian form according to the standard mathematical convention:
- \((4, \pi / 3,3 \pi / 4)\)
- \((8,9 \pi / 4, \pi / 6)\)
Se svaret
-
\[ \begin{aligned} & x=r \sin (\phi) \cos (\theta)=4 \sin (3 \pi / 4) \cos (\pi / 3)=4(\sqrt{2} / 2)(1 / 2)=\sqrt{2} \\ & y=r \sin (\phi) \sin (\theta)=4 \sin (3 \pi / 4) \sin (\pi / 3)=4(\sqrt{2} / 2)(\sqrt{3} / 2)=\sqrt{6} \\ & z=r \cos (\phi)=4 \cos (3 \pi / 4)=4(-\sqrt{2} / 2)=-2 \sqrt{2} \\ & \text { so }(x, y, z)=(\sqrt{2}, \sqrt{6},-2 \sqrt{2}) \end{aligned} \]
-
\[ \begin{aligned} & x=r \sin (\phi) \cos (\theta)=8 \sin (\pi / 6) \cos (9 \pi / 4)=8(1 / 2)(\sqrt{2} / 2)=2 \sqrt{2} \\ & y=r \sin (\phi) \sin (\theta)=8 \sin (\pi / 6) \sin (9 \pi / 4)=8(1 / 2)(\sqrt{2} / 2)=2 \sqrt{2} \\ & z=r \cos (\phi)=8 \cos (\pi / 6)=8(\sqrt{3} / 2)=4 \sqrt{3} \\ & \text { so }(x, y, z)=(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, 4 \sqrt{3}) \end{aligned} \]
Øvelse 9
Interpret the spherical coordinates a) and b) from the previous exercise as \((r, h, p)\) triples, switching to our video game conventions.
- Convert to canonical \((r, h, p)\) coordinates.
- Use the canonical coordinates to convert to Cartesian form (using the video game conventions).
Se svaret
-
\[ \begin{aligned} & \text { a) }(4, \pi / 3,3 \pi / 4) \Longrightarrow(4,4 \pi / 3, \pi / 4) \Longrightarrow(4,-2 \pi / 3, \pi / 4) \\ & \\ & \text { b) }(8,9 \pi / 4, \pi / 6) \Longrightarrow(8, \pi / 4, \pi / 6) \\ \end{aligned} \]
-
\[ \begin{aligned} & \text { a) } \\ & x=r \cos p \sin h=4 \cos (\pi / 4) \sin (-2 \pi / 3)=4(\sqrt{2} / 2)(-\sqrt{3} / 2)=-\sqrt{6} \\ & y=-r \sin p=-4 \sin (\pi / 4)=-4(\sqrt{2} / 2)=-2 \sqrt{2} \\ & z=r \cos p \cos h=4 \cos (\pi / 4) \cos (-2 \pi / 3)=4(\sqrt{2} / 2)(-1 / 2)=-\sqrt{2} \\ & \text { so }(x, y, z)=(-\sqrt{6},-2 \sqrt{2},-\sqrt{2}) \\ & \\ & \text { b) } \\ & x=r \cos p \sin h=8 \cos (\pi / 6) \sin (\pi / 4)=8(\sqrt{3} / 2)(\sqrt{2} / 2)=2 \sqrt{6} \\ & y=-r \sin p=-8 \sin (\pi / 6)=-8(1 / 2)=-4 \\ & z=r \cos p \cos h=8 \cos (\pi / 6) \cos (\pi / 4)=8(\sqrt{3} / 2)(\sqrt{2} / 2)=2 \sqrt{6} \\ & \text { so }(x, y, z)=(2 \sqrt{6},-4,2 \sqrt{6}) \end{aligned} \]
Øvelse 10
Convert the following 3D Cartesian coordinates to (canonical) spherical form using our modified convention:
- \((\sqrt{2}, 2 \sqrt{3},-\sqrt{2})\)
- \((-1,-1,-1)\)
- \((-\sqrt{3},-\sqrt{3}, 2 \sqrt{2})\)
Answer
-
\[ \begin{aligned} & r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(2 \sqrt{3})^2+(-\sqrt{2})^2=\sqrt{2+12+2}=\sqrt{16}=4} \\ & h=\arctan (x / z)=\arctan (-\sqrt{2} / \sqrt{2})=\arctan (-1)=135^{\circ} \text {, given the location of } (x, z) \\ & p=\arcsin (-y / r)=\arcsin (-(2 \sqrt{3}) / 4)=\arcsin (-\sqrt{3} / 2)=-60^{\circ} \\ & \text { so }(r, h, p)=\left(4,135^{\circ},-60^{\circ}\right) \end{aligned} \]
-
\[ \begin{aligned} & r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \\ & h=\arctan (x / z)=\arctan ((-1) /(-1))=\arctan (1)=-135^{\circ} \text {, given the location of } (x, z) \\ & p=\arcsin (-y / r)=\arcsin (1 / \sqrt{3})=35.26^{\circ} \\ & \text { so }(r, h, p)=\left(\sqrt{3},-135^{\circ}, 35.26^{\circ}\right) \end{aligned} \]
-
\[ \begin{aligned} & r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-\sqrt{3})^2+(2 \sqrt{2})^2}=\sqrt{3+3+8}=\sqrt{14} \\ & h=\arctan (x / z)=\arctan (-\sqrt{3} /(2 \sqrt{2}))=-31.48^{\circ}, \text { given the location of }(x, z) \\ & p=\arcsin (-y / r)=\arcsin (\sqrt{3} / \sqrt{14})=27.58^{\circ} \\ & \text { so }(r, h, p)=\left(\sqrt{14},-31.48^{\circ}, 27.58^{\circ}\right) \end{aligned} \]