Øvelser 11:
Gradienter og partiel afledte

I skal lave øvelserne inden timerne torsdag. I kan med fordel lave dem i grupper og diskutere dem indbyrdes. Det er vigtigt, at I forstår opgaverne og kan forklare dem til hinanden. På torsdag diskuterer vi opgaverne, og I skal være klar til at præsentere dem for klassen.

Øvelse 1 (opsummering): Afledte

Find afledte af følgende funktioner:

  1. \(\frac{1}{\left(1+e^{2 x}\right)^3}\)
  2. \((2 x+5)^7\left(3 x^4-8\right)^5\)
 

  1. \(-\frac{6 e^{2 x}}{\left(1+e^{2 x}\right)^4}\)

  2. \(14(2 x+5)^6\left(3 x^4-8\right)^5+60 x^3(2 x+5)^7\left(3 x^4-8\right)^4\)

Øvelse 2: Anden ordens afledningstest

Find alle stationære punkter, beregn anden afledte i disse punkter, og klassificer dem som maksimum eller minimum ved brug af anden afledningstest.

  1. \(f(x)=6 x-x^2\)
  2. \(f(x)=-(x-5)^2\)
 
  1. Stationært punkt: \(x=3\). \(f''(x)=-2\Rightarrow f''(3)<0\) ⇒ lokalt maksimum.
  2. Stationært punkt: \(x=5\). \(f''(x)=-2\Rightarrow f''(5)<0\) ⇒ lokalt maksimum.

Øvelse 3: Stationære punkter

Find alle stationære punkter (maksima, minima eller vendepunkter), og intervaller for konkavitet for funktionen:

\[ f(x)=x^3-12 x \]
 

\(f'(x)=3x^2-12=0 \Rightarrow x=\pm 2\). \(f''(x)=6x\). Ved \(x=-2:\ f''(-2)=-12<0\) ⇒ lokalt maksimum \(f(-2)=16\). Ved \(x=2:\ f''(2)=12>0\) ⇒ lokalt minimum \(f(2)=-16\). Konkavitet: konkav nedad for \(x<0\), konkav opad for \(x>0\).

Øvelse 4: Funktioner af to variable

Find definitionsmængde og værdimængde for funktionen \(f(x, y)=\sqrt{36-9 x^2-9 y^2}\) og skitsér definitionsmængden.

 

Definitionsmængde: \(\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le 4\}\) (lukket skive med radius 2). Værdimængde: \([0,6]\).

Øvelse 5: Partielle afledte

Beregn \(\partial f/\partial x\) og \(\partial f/\partial y\) for følgende funktioner:

  1. \(f(x, y)=x^2-3 x y+2 y^2-4 x+5 y-12\)
  2. \(f(x, y)=x^2 y^3-2 x^3 y^2+3 x y-4\)
 
  1. \(\partial f/\partial x = 2x-3y-4\), \(\partial f/\partial y = -3x+4y+5\).
  2. \(\partial f/\partial x = 2x y^3-6x^2 y^2+3y\), \(\partial f/\partial y = 3x^2 y^2-4x^3 y+3x\).

Øvelse 6: Gradienter

Lad

\[ f(x, y)=x^2+4 y^2-3 x y . \]
  1. Beregn gradienten \(\nabla f(x,y)\).
  2. Evaluer gradienten i punktet \((1,2)\).
  3. Forklar, hvad gradientvektoren i det punkt fortæller om funktionens adfærd.
 
  1. \(\nabla f(x,y)=\langle 2x-3y,\ 8y-3x\rangle = \begin{bmatrix}2x-3y\\8y-3x\end{bmatrix}\).
  2. \(\nabla f(1,2)=\begin{bmatrix}-4\\13\end{bmatrix}\).
  3. Gradientvektoren angiver den retning, hvor funktionen stiger hurtigst. I punktet \((1,2)\) peger vektoren \((-4,13)\) i den retning med størst vækst.