M2: Undervisning 1 - gennemgang af eksempler

Til undervisningen gennemgår jeg eksempler, der understøtter og eksemplificerer de emner, vi har dækket i videoerne. Det er vigtigt at forstå, hvordan disse koncepter anvendes i praksis, og hvordan de kan hjælpe dig med at løse problemer inden for softwareudvikling (f.eks. optimering af tabsfunktioner). Denne session foregår synkront på Teams, og I kan under undervisningen stille spørgsmål og deltage aktivt i diskussionen.

Eksempler¶

Det er ikke et krav, at I har kigget på eksemplerne før undervisningen, men det kan være en fordel. I vil også kunne finde videoen fra undervisningen nedenfor, når den er klar. Jeg gennemgår følgende eksempler.

Noter fra undervisning 1

Eksempel 1: Anden ordens afledningstest¶

Find alle stationære punkter, beregn anden afledte i disse punkter, og klassificer dem som lokalt maksimum eller minimum ved brug af anden afledningstest.

\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)
\(f(x) = -2x^2 + 8x - 5\)

Stationært punkt: \(f'(x) = 2x - 4\). Sæt lig 0: \(2x = 4 \Rightarrow x = 2\). Anden afledt: \(f''(x) = 2\). Test: \(f''(2) = 2 > 0\) (smilende kurve) ⇒ Lokalt minimum.
Stationært punkt: \(f'(x) = -4x + 8\). Sæt lig 0: \(-4x = -8 \Rightarrow x = 2\). Anden afledt: \(f''(x) = -4\). Test: \(f''(2) = -4 < 0\) (sur kurve) ⇒ Lokalt maksimum.

Eksempel 2: Stationære punkter og konkavitet¶

Find alle stationære punkter (maksima, minima), og bestem intervaller for konkavitet for funktionen:

\[ f(x) = x^3 - 3x + 2 \]

Stationære punkter: \(f'(x) = 3x^2 - 3\). Sæt \(3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1\) eller \(x = -1\).

Anden afledt og klassifikation: \(f''(x) = 6x\). * Ved \(x = -1\): \(f''(-1) = -6 < 0\) ⇒ Lokalt maksimum (\(f(-1) = 4\)). * Ved \(x = 1\): \(f''(1) = 6 > 0\) ⇒ Lokalt minimum (\(f(1) = 0\)).

Konkavitet: * Konkav nedad når \(f''(x) < 0 \Rightarrow 6x < 0 \Rightarrow x < 0\). * Konkav opad når \(f''(x) > 0 \Rightarrow 6x > 0 \Rightarrow x > 0\). * Vendepunkt ved \(x=0\).

Eksempel 3: Funktioner af to variable¶

Find definitionsmængde og værdimængde for funktionen \(f(x, y) = \sqrt{16 - x^2 - y^2}\) og beskriv figuren geometrisk.

Definitionsmængde: Vi kræver, at indholdet under kvadratroden er ikke-negativt: \(16 - x^2 - y^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 + y^2 \leq 16\). Dette svarer til en lukket cirkelskive med radius 4 centreret i (0,0).

Værdimængde: Minimumsværdien opnås, når \(x^2+y^2\) er størst (dvs. 16), hvilket giver \(\sqrt{0} = 0\). Maksimumsværdien opnås, når \(x=0, y=0\), hvilket giver \(\sqrt{16} = 4\). Værdimængden er intervallet \([0, 4]\).

Eksempel 4: Partielle afledte¶

Beregn \(\frac{\partial f}{\partial x}\) og \(\frac{\partial f}{\partial y}\) for følgende funktioner:

\(f(x, y) = 2x^2 + 3y^2 - 4xy + 7x - 5\)
\(f(x, y) = x^3y^2 + 4xy - y^3\)

\(\frac{\partial f}{\partial x} = 4x - 4y + 7\) (y behandles som konstant) \(\frac{\partial f}{\partial y} = 6y - 4x\) (x behandles som konstant, konstanter forsvinder)

\(\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 + 4y\)
\(\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y + 4x - 3y^2\)

Eksempel 5: Gradienter¶

Lad funktionen være givet ved:

\[ f(x, y) = 2x^2 + y^2 - 2xy \]

Beregn gradienten \(\nabla f(x,y)\).
Evaluer gradienten i punktet \((2, 1)\).
Hvad fortæller resultatet i punkt 2 os?

Beregn gradienten: \(\frac{\partial f}{\partial x} = 4x - 2y\) \(\frac{\partial f}{\partial y} = 2y - 2x\) Gradienten er vektoren: \(\nabla f(x,y) = \begin{bmatrix} 4x - 2y \\ 2y - 2x \end{bmatrix}\).
Evaluer i (2, 1): \(\nabla f(2, 1) = \begin{bmatrix} 4(2) - 2(1) \\ 2(1) - 2(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 - 2 \\ 2 - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix}\).
Fortolkning: Gradientvektoren \(\begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix}\) peger i den retning, hvor funktionen vokser stejlest fra punktet \((2, 1)\). Hvis man ville minimere funktionen (f.eks. i Gradient Descent), skulle man gå i den modsatte retning: \(\begin{bmatrix} -6 \\ 2 \end{bmatrix}\).