Øvelser 10:
Differentiering af simple funktioner

I skal lave øvelserne inden timerne torsdag. I kan med fordel lave dem i grupper og diskutere dem indbyrdes. Det er vigtigt, at I forstår opgaverne og kan forklare dem til hinanden. På torsdag diskuterer vi opgaverne, og I skal være klar til at præsentere dem for klassen.

Python-løsninger vil være tilgængelige efter sessionen.

Øvelse 1 (Opsummering)

[Python] Givet

\(A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right]\) og \(B=\left[\begin{array}{ccc}9 & 8 & 7 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right]\).

Løs matrixligningen \(X-A=6(X+B)\).

 

\(X=\left[\begin{array}{ccc}-11 & -10 & -9 \\ -8 & -7 & -6 \\ -5 & -4 & -3\end{array}\right]\)

Øvelse 2

Find grænserne for følgende funktioner:

  1. \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^4-4 x^3+x^2}{x^3+x^2+x}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x^2-1}\)
  3. \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x-2}{x^2-3 x+2}\)
 
  1. \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^4-4 x^3+x^2}{x^3+x^2+x} = 0\)
  2. \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x^2-1} = 1\)
  3. \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x-2}{x^2-3 x+2} = 1\)

Øvelse 3: Simple afledte

Find de afledte af følgende funktioner:

  1. \(f(x)=x^4\)
  2. \(f(t)=t^{-\frac{1}{3}}\)
  3. \(y=t^{-3.8}\)
 
  1. \(f'(x)=4x^3\)
  2. \(f'(t)=-\frac{1}{3}t^{-\frac{4}{3}}\)
  3. \(y'=-3.8t^{-4.8}\)

Øvelse 4: Afledte af potenser

Skriv følgende som potenser og differentier derefter:

  1. \(\frac{1}{x^2}\)
  2. \(\sqrt[3]{x}\)
  3. \(\frac{1}{x \sqrt[4]{x}}\)
  4. \(x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x}\)
 
  1. \(\frac{1}{x^2} = x^{-2}\), afledt: \(\frac{d}{dx}x^{-2} = -2x^{-3}\)
  2. \(\sqrt[3]{x} = x^{1/3}\), afledt: \(\frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}\)
  3. \(\frac{1}{x \sqrt[4]{x}} = x^{-5/4}\), afledt: \(\frac{d}{dx}x^{-5/4} = -\frac{5}{4}x^{-9/4}\)
  4. \(x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{x} = x^{-1/2}\), afledt: \(\frac{d}{dx}x^{-1/2} = -\frac{1}{2}x^{-3/2}\)

Øvelse 5: Afledte af summer og differencer

Find de afledte af følgende funktioner:

  1. \(y=2 x^{-7}+\frac{3}{x^2}\)
  2. \(f(t)=2.5 t^{2.3}+\frac{t}{\sqrt{t}}\)
  3. \(f(u)=u^{\frac{5}{3}}-3 u^{-7}\)
  4. \(g(z)=8 z^{-2}-\frac{5}{z}\)
 
  1. \(\frac{d}{dx}(2 x^{-7}+\frac{3}{x^2}) = -14x^{-8} - 6x^{-3}\)
  2. \(\frac{d}{dx}(2.5 t^{2.3}+\frac{t}{\sqrt{t}}) = 5.75t^{1.3} - \frac{1}{2}t^{-1/2}\)
  3. \(\frac{d}{dx}(u^{\frac{5}{3}}-3 u^{-7}) = \frac{5}{3}u^{2/3} + 21u^{-8}\)
  4. \(\frac{d}{dx}(8 z^{-2}-\frac{5}{z}) = -16z^{-3} + \frac{5}{z^2}\)

Øvelse 6: Afledte af produkter og kvotienter

Brug produktreglen og kvotientreglen til at differentiere funktionerne nedenfor:

  1. \(f(x)=\left(4 x^3+2\right)(1-3 x)\)
  2. \(g(x)=\left(x^2+x+2\right)\left(x^2+1\right)\)
  3. \(h(x)=\left(3 x^3-2 x^2+8 x-5\right)\left(x^2-2 x+4\right)\)
  4. \(h(x)=\frac{x^2-1}{x^3+4}\)
  5. \(g(t)=\frac{t(t+6)}{t^2+3 t+1}\)
 
  1. \(-48x^3 + 12x^2 - 6\)
  2. \( 4x^3 + 3x^2 + 6x + 1\)
  3. \(15 x^4-40 x^3+94 x^2-68 x+32\)
  4. \(h^{\prime}(x)=\frac{-x^4+3 x^2+8 x}{\left(x^3+4\right)^2}\)
  5. \(\frac{-3 t^2+2 t+6}{\left(t^2+3 t+1\right)^2}\)

Øvelse 7: Afledte ved kædereglen

Brug kædereglen til at differentiere funktionerne nedenfor:

  1. \((2 x+3)^2\)
  2. \(\left(x^2+2 x+1\right)^{12}\)
  3. \(f(t)=\sqrt{t^2-5 t+7}\)
  4. \(z=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{\frac{3}{7}}\)
  5. \(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
 
  1. \(8 x+12\)
  2. \(12(2 x+2)\left(x^2+2 x+1\right)^{11}\)
  3. \(\frac{2 t-5}{2 \sqrt{t^2-5 t+7}}\)
  4. \(\frac{3}{7}\left(x+\frac{1}{x}\right)^{-4 / 7}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\)
  5. \(\frac{1}{\left(1-x^2\right)^{3 / 2}}\)

Øvelse 8: Afledte af eksponential- og logaritmefunktioner

  1. \(f(x)=\ln \left(2 x^3\right)\)
  2. \(f(x)=e^{x^2+x^3}\)
  3. \(f(x)=\ln \left(e^x+x^3\right)\)
 
  1. \(\frac{3}{x}\)
  2. \(e^{x^2+x^3} (2x+3x^2)\)
  3. \(\frac{e^x+3x^2}{e^x+x^3}\)

Øvelse 9: Anvendelser af afledte

Hastighed er ændringshastigheden af position i forhold til tid.

Acceleration er ændringshastigheden af hastighed i forhold til tid.

  1. Givet positionsfunktionen for en bil \(s(t) = 5t^2 + 2t + 1\), hvor \(t\) er i sekunder og \(s(t)\) er i meter, find hastighedsfunktionen.

     

    Hastighedsfunktion: \(v(t) = 10t + 2\) m/s

  2. Idet acceleration er den afledte af hastighed, find accelerationsfunktionen.

     

    Accelerationsfunktion: \(a(t) = 10\) m/s²

  3. Beregn bilens hastighed og acceleration ved \(t = 3\) sekunder.

     

    Hastighed ved \(t = 3\) sekunder: \(v(3) = 32\) m/s

    Acceleration ved \(t = 3\) sekunder: \(a(3) = 10\) m/s²