Gå til indholdet

M2: Undervisning 1 - gennemgang af eksempler

Til undervisningen gennemgår jeg eksempler, der understøtter og eksemplificerer de emner, vi har dækket i videoerne. Det er vigtigt at forstå, hvordan disse koncepter anvendes i praksis, og hvordan de kan hjælpe dig med at løse problemer inden for softwareudvikling. Denne session foregår synkront på Teams, og I kan under undervisningen stille spørgsmål og deltage aktivt i diskussionen. Det er en god mulighed for at få afklaret eventuelle tvivlsspørgsmål og få en dybere forståelse af emnerne. Videoen lægges op efterfølgende, så du kan se den igen, hvis du ønsker det.

Eksempler

Det er ikke et krav, at I har kigget på eksemplerne før undervisningen, men det kan være en fordel. I vil også kunne finde videoen fra undervisningen nedenfor, når den er klar. Jeg gennemgår følgende eksempler.

Eksempler fra undervisning 1

Eksempel 1

Find grænserne for følgende funktioner:

  1. \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{2x^3+x^2}{x^2-x}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x^2-2x}{x^2+5}\)
  3. \(\lim\limits_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2-9}\)
 
  1. \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{2x^3+x^2}{x^2-x} = 0\)
  2. \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x^2-2x}{x^2+5} = 3\)
  3. \(\lim\limits_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2-9} = \frac{1}{6}\)

Eksempel 2: Simple afledte

Find de afledte af følgende funktioner:

  1. \(f(x)=x^5\)
  2. \(f(t)=t^{-\frac{1}{2}}\)
  3. \(y=t^{-2.5}\)
 
  1. \(f'(x)=5x^4\)
  2. \(f'(t)=-\frac{1}{2}t^{-\frac{3}{2}}\)
  3. \(y'=-2.5t^{-3.5}\)

Eksempel 3: Afledte af potenser

Skriv følgende som potenser og differentier derefter:

  1. \(\frac{1}{x^3}\)
  2. \(\sqrt{x}\)
  3. \(\frac{1}{x \sqrt{x}}\)
 
  1. \(\frac{1}{x^3} = x^{-3}\), afledt: \(\frac{d}{dx}x^{-3} = -3x^{-4}\)
  2. \(\sqrt{x} = x^{1/2}\), afledt: \(\frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2}\)
  3. \(\frac{1}{x \sqrt{x}} = x^{-4/3}\), afledt: \(\frac{d}{dx}x^{-4/3} = -\frac{4}{3}x^{-7/3}\)

Eksempel 4: Afledte af summer og differencer

Find de afledte af følgende funktioner:

  1. \(y=3x^{-5}+\frac{2}{x^3}\)
  2. \(f(u)=u^{\frac{4}{3}}-2u^{-5}\)
  3. \(g(z)=6z^{-3}-\frac{4}{z}\)
 
  1. \(\frac{d}{dx}(3x^{-5}+\frac{2}{x^3}) = -15x^{-6} - 6x^{-4}\)
  2. \(\frac{d}{dx}(u^{\frac{4}{3}}-2u^{-5}) = \frac{4}{3}u^{1/3} + 10u^{-6}\)
  3. \(\frac{d}{dx}(6z^{-3}-\frac{4}{z}) = -18z^{-4} + \frac{4}{z^2}\)

Eksempel 5: Afledte af produkter og kvotienter

Brug produktreglen og kvotientreglen til at differentiere funktionerne nedenfor:

  1. \(f(x)=(2x^2-1)(x+3)\)
  2. \(g(x)=(x^3-2x)(x^2+4)\)
  3. \(h(x)=\frac{x+1}{x^2-2}\)
  4. \(g(t)=\frac{t^2-1}{t^2+t-2}\)
 
  1. \(f'(x) = 6x^2 + 12x - 1\)
  2. \(g'(x) = 5x^4 + 6x^2 - 8\)
  3. \(h'(x)=\frac{-x^2-2x-2}{(x^2-2)^2}\)
  4. \(g'(t)=\frac{t^2-2t+1}{(t^2+t-2)^2} = \frac{(t-1)^2}{(t+2)^2(t-1)^2} = \frac{1}{(t+2)^2}\) for \(t \neq 1\)

Eksempel 6: Afledte ved kædereglen

Brug kædereglen til at differentiere funktionerne nedenfor:

  1. \((3x-1)^4\)
  2. \((x^3-x)^5\)
  3. \(f(t)=\sqrt{x^2+4}\)
  4. \(z=(x^2 - \frac{1}{x})^3\)
  5. \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}\)
 
  1. \(12(3x-1)^3\)
  2. \(5(3x^2-1)(x^3-x)^4\)
  3. \(\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\)
  4. \(3(x^2 - \frac{1}{x})^2(2x + \frac{1}{x^2})\)
  5. \(\frac{x^3+2x}{(x^2+1)^{3/2}}\)

Eksempel 7: Afledte af eksponential- og logaritmefunktioner

  1. \(f(x)=\ln(x^2+1)\)
  2. \(f(x)=e^{3x^2}\)
  3. \(f(x)=\ln(e^x+1)\)
 
  1. \(\frac{2x}{x^2+1}\)
  2. \(6xe^{3x^2}\)
  3. \(\frac{e^x}{e^x+1}\)

Eksempel 8: Anvendelser af afledte

En partikels position som funktion af tiden er givet ved \(s(t) = 10t^2 - 5t + 20\), hvor \(t\) måles i sekunder og \(s(t)\) i meter.

  1. Find partiklens hastighedsfunktion, \(v(t)\).

     

    Hastighedsfunktion: \(v(t) = s'(t) = 20t - 5\) m/s

  2. Find partiklens accelerationsfunktion, \(a(t)\).

     

    Accelerationsfunktion: \(a(t) = v'(t) = 20\) m/s²

  3. Beregn partiklens hastighed og acceleration ved \(t = 2\) sekunder.

     

    Hastighed ved \(t = 2\) sekunder: \(v(2) = 20(2) - 5 = 35\) m/s

    Acceleration ved \(t = 2\) sekunder: \(a(2) = 20\) m/s²

Undervisning 1: Videolektion