Gå til indholdet

Tutorial 1: Matrix Algebra

Efter denne tutorial vil du kunne:

  • Udføre grundlæggende matrix-aritmetik, herunder addition, subtraktion og skalarmultiplikation.
  • Forstå og anvende matrixmultiplikation korrekt.
  • Arbejde med matrixpotenser og den transponerede af en matrix.
  • Bestemme, om en matrix er invertibel.
  • Find den inverse af en 2x2 og en n x n matrix.
  • Anvende matrixinverser til at løse lineære ligningssystemer.
  • Forstå og anvende "The Invertible Matrix Theorem".

1. Matrix-aritmetik

Matrix-aritmetik dækker over de grundlæggende operationer som addition, subtraktion, skalarmultiplikation og matrixmultiplikation. Disse operationer er fundamentale for at kunne manipulere og kombinere matricer i mere komplekse sammenhænge, såsom løsning af ligningssystemer.

1.1 Addition og Skalarmultiplikation

Matrixaddition:

Summen af to matricer, A og B, af samme dimension (m x n), er en ny m x n matrix, hvor hvert element er summen af de korresponderende elementer i A og B.

\[ A+B=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix} \]

Skalarmultiplikation:

Produktet af en skalar c og en matrix A er en ny matrix, hvor hvert element i A er multipliceret med c.

\[ cA=\begin{bmatrix} ca_{11} & \cdots & ca_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ ca_{m1} & \cdots & ca_{mn} \end{bmatrix} \]

Eksempel på matrixaddition og skalarmultiplikation:

Lad \(A = \begin{bmatrix}-5 & 2 & 0 \\ 7 & -3 & 4 \\ -1 & 3 & 2\end{bmatrix}\) og \(B = \begin{bmatrix}0 & -1 & 8 \\ 6 & -14 & 2 \\ 9 & 5 & 1\end{bmatrix}\).

Beregn \(A+B\) og \(3A\):

Løsning:

\[ A+B = \begin{bmatrix}-5+0 & 2+(-1) & 0+8 \\ 7+6 & -3+(-14) & 4+2 \\ -1+9 & 3+5 & 2+1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-5 & 1 & 8 \\ 13 & -17 & 6 \\ 8 & 8 & 3\end{bmatrix} \]
\[ 3A = \begin{bmatrix}3(-5) & 3(2) & 3(0) \\ 3(7) & 3(-3) & 3(4) \\ 3(-1) & 3(3) & 3(2)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-15 & 6 & 0 \\ 21 & -9 & 12 \\ -3 & 9 & 6\end{bmatrix} \]

1.2 Matrixmultiplikation

Matrixmultiplikation er mere komplekst. Produktet AB af to matricer A og B er kun defineret, hvis antallet af søjler i A er lig med antallet af rækker i B.

Definition af matrixmultiplikation:

Hvis A er en m x n matrix og B er en n x p matrix, så er produktet AB en m x p matrix. Hver indgang (i, j) i AB er prikproduktet af den i'te række i A og den j'te søjle i B.

Eksempel på matrixmultiplikation:

Lad \(A = \begin{bmatrix}1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -3\end{bmatrix}\) og \(B = \begin{bmatrix}-4 & 2 & 4 & -4 \\ -1 & -5 & -3 & 3 \\ -4 & -4 & -3 & -1\end{bmatrix}\).

Beregn \(AB\):

Løsning:

A er en 2x3 matrix og B er en 3x4 matrix. Antallet af søjler i A (3) er lig med antallet af rækker i B (3), så produktet er defineret. Resultatet vil være en 2x4 matrix.

\[ AB = \begin{bmatrix} (1)(-4)+(2)(-1)+(-2)(-4) & (1)(2)+(2)(-5)+(-2)(-4) & (1)(4)+(2)(-3)+(-2)(-3) & (1)(-4)+(2)(3)+(-2)(-1) \\ (1)(-4)+(1)(-1)+(-3)(-4) & (1)(2)+(1)(-5)+(-3)(-4) & (1)(4)+(1)(-3)+(-3)(-3) & (1)(-4)+(1)(3)+(-3)(-1) \end{bmatrix} \]
\[ AB = \begin{bmatrix}2 & 0 & 4 & 4 \\ 7 & 9 & 10 & 2\end{bmatrix} \]

Bemærk at produktet \(BA\) ikke er defineret, da antallet af søjler i B (4) ikke er lig med antallet af rækker i A (2).

2. Matrixpotenser og Transponering

Matrixpotens:

For en kvadratisk matrix A (n x n) defineres den k'te potens af A som produktet af A med sig selv k gange.

\[ A^k = \underbrace{A \cdot A \cdot \ldots \cdot A}_{k \text{ gange}} \]

Transponering:

Den transponerede af en m x n matrix A, betegnet \(A^T\), er en n x m matrix, hvor rækkerne i A bliver til søjlerne i \(A^T\).

Eksempel på transponering:

Lad \(A = \begin{bmatrix}-2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & -3\end{bmatrix}\).

Løsning:

\[ A^T = \begin{bmatrix}-2 & 3 \\ 1 & -1 \\ 0 & -3\end{bmatrix} \]

En vigtig egenskab ved transponering er \((AB)^T = B^T A^T\).

3. Invertible Matricer

En n x n matrix A kaldes invertibel (eller ikke-singulær), hvis der findes en n x n matrix C, således at \(AC = CA = I_n\), hvor \(I_n\) er identitetsmatricen. C kaldes den inverse af A og betegnes \(A^{-1}\).

3.1 Inversen af en 2x2 Matrix

For en 2x2 matrix \(A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\) er den inverse givet ved:

\[ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix} \]

Dette er kun muligt, hvis determinanten af A, det(A) = ad-bc, ikke er nul.

Eksempel på inversen af en 2x2 matrix:

Find inversen af \(A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\).

Løsning:

Determinanten er det(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2.

\[ A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix}4 & -2 \\ -3 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix} \]

3.2 Inversen af en n x n Matrix

For at finde inversen af en større kvadratisk matrix A, kan man benytte følgende algoritme:

  1. Opstil den udvidede matrix \([A | I_n]\).
  2. Anvend rækkeoperationer for at reducere A til \(I_n\).
  3. Den resulterende matrix til højre vil være \(A^{-1}\), altså \([I_n | A^{-1}]\).

Eksempel på inversen af en 3x3 matrix:

Find inversen af \(A = \begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ -3 & 1 & 4 \\ 2 & -3 & 4\end{bmatrix}\).

Løsning:

Opstil den udvidede matrix og rækkereducer:

\[ \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 8 & 6 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 20 & 8 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] \]

(De mellemliggende rækkeoperationer er udeladt for korthedens skyld)

Den inverse er:

\[ A^{-1} = \begin{bmatrix}8 & 6 & 2 \\ 20 & 8 & 2 \\ \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2}\end{bmatrix} \]

4. Løsning af Matrixligninger med Inverser

Hvis A er en invertibel matrix, har ligningen \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) en unik løsning givet ved \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\).

Eksempel på løsning af ligningssystem:

Løs systemet: \(8x_1 + 6x_2 = 2\) \(5x_1 + 4x_2 = -1\)

Løsning:

Systemet kan skrives som \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\), hvor \(A = \begin{bmatrix}8 & 6 \\ 5 & 4\end{bmatrix}\), \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}\) og \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}\).

Find først \(A^{-1}\): det(A) = (8)(4) - (6)(5) = 32 - 30 = 2.

\[ A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix}4 & -6 \\ -5 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & -3 \\ -\frac{5}{2} & 4\end{bmatrix} \]

Løsningen er \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\):

\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix}2 & -3 \\ -\frac{5}{2} & 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}(2)(2)+(-3)(-1) \\ (-\frac{5}{2})(2)+(4)(-1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7 \\ -9\end{bmatrix} \]

Så \(x_1 = 7\) og \(x_2 = -9\).

5. The Invertible Matrix Theorem

Dette teorem samler en række ækvivalente udsagn for en kvadratisk matrix. Hvis ét af udsagnene er sandt, er de alle sande.

The Invertible Matrix Theorem (uddrag):

For en n x n matrix A er følgende udsagn ækvivalente:

  • A er en invertibel matrix.
  • A er rækkeækvivalent med \(I_n\).
  • A har n pivotpositioner.
  • Ligningen \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) har kun den trivielle løsning.
  • Søjlerne i A er lineært uafhængige.
  • Ligningen \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) har mindst én løsning for ethvert \(\mathbf{b}\) i \(\mathbb{R}^n\).
  • \(A^T\) er en invertibel matrix.

Opsummering

Denne tutorial har introduceret de centrale begreber inden for matrix algebra:

  • Matrix-aritmetik: Addition, subtraktion, skalarmultiplikation og matrixmultiplikation.
  • Matrixpotenser og transponering: Potenser af kvadratiske matricer og den transponerede af en matrix.
  • Invertible matricer: Definition, egenskaber og metoder til at finde den inverse.
  • Løsning af ligningssystemer: Anvendelse af matrixinverser til at finde unikke løsninger.
  • The Invertible Matrix Theorem: En samling af ækvivalente betingelser for invertibilitet.

Disse værktøjer er essentielle for at kunne arbejde effektivt med komplekse lineære systemer.

Almindelige Faldgruber

  • Dimensioner ved multiplikation: Husk at antallet af søjler i den første matrix skal matche antallet af rækker i den anden.
  • Rækkefølgen af matrixmultiplikation: Generelt er \(AB \neq BA\).
  • Invers af produkt: Husk reglen \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\).
  • Ikke-kvadratiske matricer: Kun kvadratiske matricer kan have en invers.
  • Singulære matricer: En matrix med en determinant på nul er ikke invertibel.