Øvelser 1:
Matrixalgebra og determinanter
I skal lave øvelserne inden timerne torsdag. I kan med fordel lave dem i grupper og diskutere dem indbyrdes. Det er vigtigt, at I forstår opgaverne og kan forklare dem til hinanden. På torsdag diskuterer vi opgaverne, og I skal være klar til at præsentere dem for klassen.
[P] Betyder at du anbefales at bruge Python til at løse øvelsen. Du kan finde Python-løsningerne her eller download dem her
Øvelse 1¶
a. Bestem ved inspektion om følgende sæt af vektorer er lineært uafhængige eller afhængige. Begrund hvert svar.
i. \(\left[\begin{array}{l}5 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\ 8\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\ 7\end{array}\right]\) (1)
- Afhængige
ii. \(\left[\begin{array}{r}2 \\ -4 \\ 8\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\ 6 \\ -12\end{array}\right]\) (1)
- Afhængige
iii. \(\left[\begin{array}{r}5 \\ -3 \\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-7 \\ 2 \\ 4\end{array}\right]\) (1)
- Afhængige
iv. \(\left[\begin{array}{l}3 \\ 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}3 \\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}7 \\ 1\end{array}\right]\) (1)
- Afhængige
v. \(\left[\begin{array}{r}-8 \\ 12 \\ -4\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\ -3 \\ -1\end{array}\right]\) (1)
- Uafhængige
vi. \(\left[\begin{array}{r}1 \\ 4 \\ -7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\ 5 \\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]\) (1)
- Afhængige
b. Lad \(A = \left[\begin{array}{cccccc}1 & -4 & -2 & 0 & 3 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\)
Beskriv alle løsninger til \(A \mathbf{x}=\mathbf{0}\) på parametrisk form.
For at beskrive alle løsninger til \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) på parametrisk form, skriver vi først (koefficient)matrixen og reducerer den til reduceret echelon form:
Derfor er løsningen på parametrisk form:
hvor \(x_2\), \(x_4\) og \(x_6\) er frie variable.
c. [P] Brug så mange kolonner af \(A\) som muligt til at konstruere en matrix \(B\) med egenskaben at ligningen \(B \mathbf{x}=\mathbf{0}\) kun har den trivielle løsning. Løs \(B \mathbf{x}=\mathbf{0}\) for at verificere dit arbejde.
\(A=\left[\begin{array}{rrrrr}3 & -4 & 10 & 7 & -4 \\ -5 & -3 & -7 & -11 & 15 \\ 4 & 3 & 5 & 2 & 1 \\ 8 & -7 & 23 & 4 & 15\end{array}\right]\)
Når den reduceres til echelon form, vil du have pivots i kolonnerne 1, 2 og 4. Derfor kan du bruge kolonnerne 1, 2 og 4 til at konstruere matrix B.
Du kan verificere dit arbejde ved at løse ligningen \(B \mathbf{x}=\mathbf{0}\), hvilket gøres ved at finde reduceret echelon form af \(B\). Dette vil give dig den trivielle løsning.
Øvelse 2¶
I (a) og (b) beregn hver matrixsum eller -produkt hvis det er defineret. Hvis et udtryk er udefineret, forklar hvorfor. Lad
a. \(-2 A, \; B-2 A, \; A C, \; C D\)
\(-2 A=(-2)\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & -1 \\ 4 & -5 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}-4 & 0 & 2 \\ -8 & 10 & -4\end{array}\right]\). Næst bruger vi \(B-2 A=B+(-2 A)\) :
Produktet \(A C\) er ikke defineret fordi antallet af kolonner i \(A\) ikke matcher antallet af rækker i \(C . C D=\left[\begin{array}{rr}1 & 2 \\ -2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}3 & 5 \\ -1 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}1 \cdot 3+2(-1) & 1 \cdot 5+2 \cdot 4 \\ -2 \cdot 3+1(-1) & -2 \cdot 5+1 \cdot 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}1 & 13 \\ -7 & -6\end{array}\right]\). For mental beregning er række-kolonne reglen sandsynligvis nemmere at bruge end definitionen.
b. [P] \(A+3 B, \; 2 C-3 E, \; D B, \; E C\)
Udtrykket \(2 C-3 E\) er ikke defineret fordi \(2 C\) har 2 kolonner og \(-3 E\) kun har 1 kolonne.
Produktet \(E C\) er ikke defineret fordi antallet af kolonner i \(E\) ikke matcher antallet af rækker i \(C\).
c. [P] Lad \(A=\left[\begin{array}{rr}3 & -6 \\ -1 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-1 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right]\), og \(C= \left[\begin{array}{rr}-3 & -5 \\ 2 & 1\end{array}\right]\). Verificer at \(A B=A C\) og alligevel \(B \neq C\).
For at verificere at \( AB = AC \) men \( B \neq C \), beregner vi \( AB \) og \( AC \) og sammenligner dem.
Givet:
Beregn \( AB \):
Beregn \( AC \):
Da \( AB = \left[\begin{array}{rr} -21 & -21 \\ 7 & 7 \end{array}\right] = AC \), konkluderer vi \( AB = AC \).
Således er \( AB = AC \) men \( B \neq C \).
d. [P] Hvis \(A=\left[\begin{array}{rr}1 & -3 \\ -3 & 5\end{array}\right]\) og \(A B=\left[\begin{array}{rr}-3 & -11 \\ 1 & 17\end{array}\right]\), bestem matrixen \(B\).
Da \(\left[\begin{array}{rr}-3 & -11 \\ 1 & 17\end{array}\right]=A B=\left[\begin{array}{ll}A \mathbf{b}_1 & A \mathbf{b}_2\end{array}\right]\), opfylder den første kolonne i \(B\) ligningen \(A \mathbf{x}=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 6\end{array}\right]\). Rækkereduktion: \(\left[\begin{array}{ll}A & A \mathbf{b}_1\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{rrr}1 & -3 & -3 \\ -3 & 5 & 1\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]\). Så \(\mathbf{b}_1=\left[\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right]\). Tilsvarende, \(\left[\begin{array}{ll}A & A \mathbf{b}_2\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{rrr}1 & -3 & -11 \\ -3 & 5 & 17\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right]\) og \(\mathbf{b}_2=\left[\begin{array}{l}1 \\ 4\end{array}\right]\).
Bemærk: En alternativ løsning er at rækkereducere \(\left[\begin{array}{lll}A & A \mathbf{b}_1 & A \mathbf{b}_2\end{array}\right]\) med én sekvens af rækkeoperationer. Denne observation kan forberede vejen for inversionsalgoritmen nævnt i bogen.
Øvelse 3¶
a. Find inverserne af \(\begin{array}{cc}{\left[\begin{array}{l}8 \\ 5\end{array}\right.} & \left.\begin{array}{c}6 \\ 4\end{array}\right]\end{array}\) og \(\begin{array}{cc}{\left[\begin{array}{l}3 \\ 8\end{array}\right.} & \left.\begin{array}{c}2 \\ 5\end{array}\right]\end{array}\).
\(\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\ 5 & 4\end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{32-30}\left[\begin{array}{rr}4 & -6 \\ -5 & 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cr}2 & -3 \\ -5 / 2 & 4\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 8 & 5\end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{15-16}\left[\begin{array}{rr}5 & -2 \\ -8 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-5 & 2 \\ 8 & -3\end{array}\right]\)
b. [P] Brug den inverse fundet i øvelse 3.a til at løse systemet
\(\begin{aligned} & 8 x_1+6 x_2=2 \\ & 5 x_1+4 x_2=-1 \end{aligned}\)
Systemet er ækvivalent med \(A \mathbf{x}=\mathbf{b}\), hvor \(A=\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\ 5 & 4\end{array}\right]\) og \(\mathbf{b}=\left[\begin{array}{r}2 \\ -1\end{array}\right]\), og løsningen er \(\mathbf{x}=A^{-1} \mathbf{b}=\left[\begin{array}{cr}2 & -3 \\ -5 / 2 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}2 \\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}7 \\ -9\end{array}\right]\). Således er \(x_1=7\) og \(x_2=-9\).
c. [P] Find den inverse af matrixen. Brug algoritmen til at finde den inverse af en \(n \times n\) matrix.
\(\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -2 \\ -3 & 1 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \end{array}\right]\)
Øvelse 4¶
I denne øvelse er matricerne alle \(n \times n\). Hver del af øvelsen er en implikation af formen "Hvis (udsagn 1), så (udsagn 2)." Marker en implikation som Sand hvis sandheden af (udsagn 2) altid følger når (udsagn 1) tilfældigvis er sand. En implikation er Falsk hvis der er et tilfælde hvor (udsagn 2) er falsk men (udsagn 1) er sand. Begrund hvert svar.
a. Hvis ligningen \(A \mathbf{x}=\mathbf{0}\) kun har den trivielle løsning, så er \(A\) rækkeækvivalent med \(n \times n\) identitetsmatrixen. (1)
- Sand
b. Hvis kolonnerne i \(A\) udspænder \(\mathbb{R}^n\), så er kolonnerne lineært uafhængige. (1)
- Sand
c. Hvis \(A\) er en \(n \times n\) matrix, så har ligningen \(A \mathbf{x}=\mathbf{b}\) mindst én løsning for hver \(\mathbf{b}\) i \(\mathbb{R}^n\). (1)
- Falsk
d. Hvis ligningen \(A \mathbf{x}=\mathbf{0}\) har en ikke-triviel løsning, så har \(A\) færre end \(n\) pivotpositioner. (1)
- Sand
e. Hvis \(A^T\) ikke er invertibel, så er \(A\) ikke invertibel. (1)
- Sand
Øvelse 5¶
[P] Givet
\(A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3\end{array}\right]\) og \(B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]\).
Løs matrixligningen \(X+A=2(X-B)\).
Matrixligningen \(X+A=2(X-B)\) kan omskrives som \(X+A=2 X-2 B\). Omarrangering af led giver \(X-2 X=-A-2 B\). Forenkling giver \(-X=-A-2 B\). Multiplikation med \(-1\) giver \(X=A+2 B\).
Ved at substituere de givne matricer \(A\) og \(2B\) i ligningen har vi:
Derfor er løsningen til matrixligningen \(X+A=2(X-B)\) \(X=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & -1\end{array}\right]\).
Øvelse 6¶
[P] Lad matrixen \(A\) være givet ved
\(A=\left[\begin{array}{cc} 3-2 q & 1 \\ 4 & 3+2 q \end{array}\right]\)
hvor \(q\) er en skalar. Beregn \(q\) sådan at
\(A^2=\left[\begin{array}{cc} 29 & 6 \\ 24 & 125 \end{array}\right]\)
Lad \(A = \begin{bmatrix} 3 - 2q & 1 \\ 4 & 3 + 2q \end{bmatrix}.\)
Så er \(A^2 = \begin{bmatrix} (3 - 2q)^2 + 4 & 6 \\ 24 & (3 + 2q)^2 + 4 \end{bmatrix}.\) Da \( A^2 = \begin{bmatrix} 29 & 6 \\ 24 & 125 \end{bmatrix} \), har vi:
\((3 - 2q)^2 + 4 = 29 \Rightarrow \) \((3 - 2q)^2 = 25 \Rightarrow 3 - 2q = \pm 5\)
Tilfælde 1: \(3 - 2q = 5 \Rightarrow q = -1\).
Tilfælde 2: \(3 - 2q = -5 \Rightarrow q = 4\).
Kontrol: For \(q = -1\) har vi: \(A^2=\left[\begin{array}{ll}5 & 1 \\ 4 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}5 & 1 \\ 4 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}29 & 6 \\ 24 & 9\end{array}\right]\)
For \(q = 4\) har vi: \(A^2=\left[\begin{array}{cc}-5 & 1 \\ 4 & 11\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-5 & 1 \\ 4 & 11\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}29 & 6 \\ 24 & 125\end{array}\right]\)
Så kun \(q = 4\) opfylder ligningen.