Gå til indholdet

M2: Undervisning 1 - gennemgang af eksempler

Til undervisningen gennemgår jeg eksempler, der understøtter og eksemplificerer de emner, vi har dækket i videoerne. Det er vigtigt at forstå, hvordan disse koncepter anvendes i praksis, og hvordan de kan hjælpe dig med at løse problemer inden for softwareudvikling. Denne session foregår synkront på Teams og I kan under undervisningen stille spørgsmål og deltage aktivt i diskussionen. Det er en god mulighed for at få afklaret eventuelle tvivlsspørgsmål og få en dybere forståelse af emnerne. Videoen lægges op efterfølgende, så du kan se den igen, hvis du ønsker det.

Eksempler

Det er ikke et krav, at I har kigget på eksemplerne før undervisningen, men det kan være en fordel. I vil også kunne finde videoen fra undervisningen nedenfor, når den er klar. Jeg gennemgår følgende eksempler.

Eksempel 1

I (a) og (b) beregn hver matrixsum eller produkt hvis den er defineret. Hvis et udtryk ikke er defineret, forklar hvorfor. Lad

\[ \begin{aligned} & A=\left[\begin{array}{rrr} 3 & 1 & -2 \\ 5 & -4 & 3 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 6 & -4 & 2 \\ 2 & -3 & -2 \end{array}\right], \\ & C=\left[\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{rr} 4 & 6 \\ -2 & 5 \end{array}\right], \quad E=\left[\begin{array}{r} -3 \\ 4 \end{array}\right] \end{aligned} \]

  1. \(-3 A, \; B-3 A, \; A C, \; C D\)

     
    \[-3 A=\left[\begin{array}{rrr}-9 & -3 & 6 \\ -15 & 12 & -9\end{array}\right]\]
    \[B-3 A=\left[\begin{array}{rrr} -3 & -7 & 8 \\ -13 & 9 & -11 \end{array}\right]\]

    \(A C\) er ikke defineret.

    \[C D=\left[\begin{array}{rr}2 & 27 \\ -8 & 4\end{array}\right]\]

  2. [Python] \(A+2 B, \; 3 C-2 E, \; D B, \; E C\)

     
    \[A+2 B=\left[\begin{array}{rrr} 15 & -7 & 2 \\ 9 & -10 & -1 \end{array}\right]\]

    \(3 C-2 E\) er ikke defineret.

    \[D B=\left[\begin{array}{ccc}36 & -34 & -4 \\ -2 & -7 & -14\end{array}\right]\]

    \(E C\) er ikke defineret.

  3. [Python] Lad \(A=\left[\begin{array}{rr}3 & -6 \\ -1 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-1 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right]\), og \(C= \left[\begin{array}{rr}-3 & -5 \\ 2 & 1\end{array}\right]\). Verificer at \(A B=A C\) og alligevel \(B \neq C\).

     

    Da \( AB = \left[\begin{array}{rr} -21 & -21 \\ 7 & 7 \end{array}\right] = AC \), følger \( AB = AC \).

    Dermed er \( AB = AC \) men \( B \neq C \).

  4. [Python] Hvis \(A=\left[\begin{array}{rr}2 & -2 \\ -2 & 4\end{array}\right]\) og \(A B=\left[\begin{array}{rr}-2 & -8 \\ 4 & 18\end{array}\right]\), bestem matricen \(B\).

     

    \(B=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 5\end{array}\right]\)

Eksempel 2

  1. Find inverterne af \(\begin{array}{cc}{\left[\begin{array}{l}6 \\ 4\end{array}\right.} & \left.\begin{array}{c}4 \\ 3\end{array}\right]\end{array}\) og \(\begin{array}{cc}{\left[\begin{array}{l}4 \\ 7\end{array}\right.} & \left.\begin{array}{c}3 \\ 5\end{array}\right]\end{array}\).

     

    \(\left[\begin{array}{ll}6 & 4 \\ 4 & 3\end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{18-16}\left[\begin{array}{rr}3 & -4 \\ -4 & 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cr}3/2 & -2 \\ -2 & 3\end{array}\right]\)

    \(\left[\begin{array}{ll}4 & 3 \\ 7 & 5\end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{20-21}\left[\begin{array}{rr}5 & -3 \\ -7 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-5 & 3 \\ 7 & -4\end{array}\right]\)

  2. [Python] Brug inversen fundet i Eksempel 2.1 til at løse systemet

    \(\begin{aligned} & 6 x_1+4 x_2=2 \\ & 4 x_1+3 x_2=-1 \end{aligned}\)

     

    Løsning: \(x_1=5\) og \(x_2=-7\).

  3. [Python] Find inversen af matricen. Brug algoritmen for at finde inversen af en \(n \times n\) matrix.

    \(\left[\begin{array}{rrr} 2 & 1 & -1 \\ -2 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 3 \end{array}\right]\)

     

    \(\left[\begin{array}{ccc}\frac{12}{31} & -\frac{1}{31} & \frac{5}{31} \\ \frac{9}{31} & \frac{7}{31} & -\frac{4}{31} \\ \frac{2}{31} & \frac{5}{31} & \frac{6}{31}\end{array}\right]\)

Eksempel 3

I denne øvelse er matricerne alle \(n \times n\). Hvert delspørgsmål er en implikation af formen "Hvis (udsagn 1), så (udsagn 2)". Markér en implikation som Sandt hvis sandheden af (udsagn 2) altid følger når (udsagn 1) er sand. En implikation er Falsk hvis der findes en instans hvor (udsagn 2) er falsk mens (udsagn 1) er sand. Begrund hvert svar.

  1. Hvis ligningen \(A \mathbf{x}=\mathbf{0}\) kun har den trivielle løsning, så er \(A\) rækkeekvivalent med \(n \times n\) identitetsmatricen. (1)

    1. Sandt

  2. Hvis søjlerne i \(A\) spænder over \(\mathbb{R}^n\), så er søjlerne lineært uafhængige. (1)

    1. Sandt

  3. Hvis \(A\) er en \(n \times n\) matrix, så har ligningen \(A \mathbf{x}=\mathbf{b}\) mindst én løsning for hvert \(\mathbf{b}\) i \(\mathbb{R}^n\). (1)

    1. Falsk

  4. Hvis ligningen \(A \mathbf{x}=\mathbf{0}\) har en ikke-triviel løsning, så har \(A\) færre end \(n\) pivotpositioner. (1)

    1. Sandt

  5. Hvis \(A^T\) ikke er invertibel, så er \(A\) ikke invertibel. (1)

    1. Sandt

Eksempel 4

[Python] Givet

\(A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right]\) og \(B=\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right]\).

Løs matrixligningen \(X+A=2(X-B)\).

 

\(X=\left[\begin{array}{ccc}6 & 4 & 4 \\ 4 & 8 & 4 \\ 4 & 4 & 2\end{array}\right]\)

Eksempel 5

[Python] Lad matricen \(A\) være givet ved

\(A=\left[\begin{array}{cc} q & 1 \\ 8 & q \end{array}\right]\)

hvor \(q\) er en skalar. Beregn \(q\) så

\(A^2=\left[\begin{array}{cc} 17 & 6 \\ 48 & 17 \end{array}\right]\)

 

\(q=3\)

Undervisning 1: Videolektion