Tutorial 1: Vektorer og Matricer

Efter denne tutorial vil du kunne:

Forstå og arbejde med vektorer og matricer.
Konvertere mellem forskellige repræsentationer af lineære ligningssystemer.
Beregne lineære kombinationer af vektorer.
Skrive løsninger i parametrisk vektorform.
Løse homogene ligningssystemer.
Bestemme lineær uafhængighed af vektorer.
Anvende vektorer og matricer i praktiske sammenhænge.

1. Grundlæggende Vektoroperationer¶

En vektor er en ordnet liste af tal, der kan repræsentere positioner, retninger eller data. I denne tutorial fokuserer vi på kolonnevektorer.

Definition af vektorer:

\[\mathbf{v} = \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}\]

Grundlæggende operationer:

Skalarmultiplikation: \(c\mathbf{v} = \begin{bmatrix}cv_1\\cv_2\\\vdots\\cv_n\end{bmatrix}\)
Vektoraddition: \(\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix}u_1+v_1\\u_2+v_2\\\vdots\\u_n+v_n\end{bmatrix}\)
Vektorsubtraktion: \(\mathbf{u} - \mathbf{v} = \begin{bmatrix}u_1-v_1\\u_2-v_2\\\vdots\\u_n-v_n\end{bmatrix}\)

Eksempel på vektoroperationer:

Lad \(\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}1\\-2\\4\end{bmatrix}\) og \(\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}3\\0\\2\end{bmatrix}\).

Beregn \(2\mathbf{v}_1 + 3\mathbf{v}_2\):

Løsning:

\[2\mathbf{v}_1 + 3\mathbf{v}_2 = 2\begin{bmatrix}1\\-2\\4\end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix}3\\0\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\-4\\8\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}9\\0\\6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}11\\-4\\14\end{bmatrix}\]

2. Matricer og Matrixoperationer¶

En matrix er et rektangulært array af tal organiseret i rækker og søjler.

Matrixnotation:

\[A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}\]

Matrix-vektor multiplikation:

\[A\mathbf{x} = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n\\\vdots\\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n\end{bmatrix}\]

Eksempel på matrix-vektor multiplikation:

Lad \(A = \begin{bmatrix}2 & 3\\-1 & 4\end{bmatrix}\) og \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}\).

Beregn \(A\mathbf{x}\):

Løsning:

\[A\mathbf{x} = \begin{bmatrix}2 & 3\\-1 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \cdot 1 + 3 \cdot (-2)\\-1 \cdot 1 + 4 \cdot (-2)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 - 6\\-1 - 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4\\-9\end{bmatrix}\]

3. Repræsentationer af Lineære Ligningssystemer¶

Et lineært ligningssystem kan repræsenteres på tre ækvivalente måder:

3.1 System af Ligninger¶

\[\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\ \vdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}\]

3.2 Augmenteret Matrix¶

\[\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m\end{bmatrix}\]

3.3 Vektorligning¶

\[x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n = \mathbf{b}\]

hvor \(\mathbf{a}_j\) er \(j\)-te søjle i koefficientmatricen.

3.4 Matrixligning¶

\[A\mathbf{x} = \mathbf{b}\]

Eksempel på konvertering:

Konverter systemet:

\[\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 - 4x_3 = 8\\ -x_2 + x_3 + 2x_4 = -2\\ -x_1 + 2x_4 = 3 \end{cases}\]

Løsning:

(i) Augmenteret matrix:

\[\begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 & 0 & 8\\ 0 & -1 & 1 & 2 & -2\\ -1 & 0 & 0 & 2 & 3 \end{bmatrix}\]

(ii) Vektorligning:

\[x_1\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}3\\-1\\0\end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix}-4\\1\\0\end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8\\-2\\3\end{bmatrix}\]

(iii) Matrixligning:

\[\begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 2\\ -1 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8\\-2\\3\end{bmatrix}\]

4. Lineære Kombinationer¶

En lineær kombination af vektorer \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) er et udtryk af formen:

\[c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k\]

hvor \(c_1, c_2, \ldots, c_k\) er skalarer.

Eksempel på lineære kombinationer:

Lad \(\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}1\\-2\\4\end{bmatrix}\), \(\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}3\\0\\2\end{bmatrix}\) og \(\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix}-1\\5\\1\end{bmatrix}\).

Beregn \(2\mathbf{v}_1 + 3\mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3\):

Løsning:

\[2\begin{bmatrix}1\\-2\\4\end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix}3\\0\\2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1\\5\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\-4\\8\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}9\\0\\6\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1\\5\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}10\\1\\15\end{bmatrix}\]

5. Parametrisk Vektorform¶

Når et lineært system har frie variable, kan løsningen skrives i parametrisk vektorform som:

\[\mathbf{x} = \mathbf{p} + t_1\mathbf{v}_1 + t_2\mathbf{v}_2 + \cdots + t_k\mathbf{v}_k\]

hvor:

\(\mathbf{p}\) er en partikulær løsning
\(t_1, t_2, \ldots, t_k\) er parametre (frie variable)
\(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) er retningsvektorer

Eksempel på parametrisk vektorform:

Et system har løsningen:

\[\begin{aligned} x_1 &= 4 - x_2\\ x_2 &= x_2\\ x_3 &= -1 + 3x_2 \end{aligned}\]

hvor \(x_2\) er en fri variabel.

Parametrisk vektorform:

\[\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\0\\-1\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}-1\\1\\3\end{bmatrix}\]

Forklaring: Løsningen består af en "partikulær løsning" \(\begin{bmatrix}4\\0\\-1\end{bmatrix}\) plus alle mulige lineære kombinationer af "retningsvektoren" \(\begin{bmatrix}-1\\1\\3\end{bmatrix}\) ganget med den frie parameter \(x_2\).

6. Homogene Ligningssystemer¶

Et homogent system er et system af formen \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\).

Vigtige egenskaber:

\(\mathbf{x} = \mathbf{0}\) er altid en løsning (trivial løsning)
Hvis der er ikke-trivielle løsninger, er der uendeligt mange løsninger
Løsningsmængden er et underrum

Eksempel på homogen ligning:

Løs \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) for \(A = \begin{bmatrix}4 & -8\\-3 & 6\end{bmatrix}\).

Løsning:

Række-reduktion af \([A|\mathbf{0}]\):

\[\begin{bmatrix}4 & -8 & 0\\-3 & 6 & 0\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1 & -2 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}\]

Løsning:

\[\mathbf{x} = x_2\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\]

Forklaring: Da \(x_1 = 2x_2\) og \(x_2\) er fri, kan alle løsninger skrives som multipla af vektoren \(\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\).

7. Lineær Uafhængighed¶

Vektorer \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) er lineært uafhængige, hvis ligningen:

\[c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}\]

kun har den trivielle løsning \(c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0\).

Test for lineær uafhængighed:

Sæt vektorerne som søjler i en matrix \(A\)
Løs \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\)
Hvis der kun er den trivielle løsning, er vektorerne lineært uafhængige
Hvis der er frie variable, er vektorerne lineært afhængige

Eksempel på lineær uafhængighed:

Bestem om \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix}8\\6\\12\end{bmatrix}\) er en lineær kombination af: \(\(\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix}2\\3\\0\end{bmatrix}, \quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix}1\\2\\-5\end{bmatrix}, \quad \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix}4\\1\\2\end{bmatrix}\)\)

Løsning:

Løs systemet \(x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + x_3\mathbf{a}_3 = \mathbf{b}\):

Augmenteret matrix:

\[\begin{bmatrix}2 & 1 & 4 & 8\\3 & 2 & 1 & 6\\0 & -5 & 2 & 12\end{bmatrix}\]

RREF:

\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 3\\0 & 1 & 0 & -2\\0 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix}\]

Løsning: Ja, \(\mathbf{b} = 3\mathbf{a}_1 - 2\mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3\)

Opsummering¶

I denne tutorial har du lært de grundlæggende koncepter inden for vektorer og matricer:

Vektoroperationer: Addition, subtraktion, skalarmultiplikation
Matrix-vektor multiplikation: Hvordan man beregner \(A\mathbf{x}\)
Repræsentationer: System af ligninger, augmenteret matrix, vektorligning, matrixligning
Lineære kombinationer: Hvordan man kombinerer vektorer
Parametrisk vektorform: Hvordan man skriver løsninger med frie variable
Homogene systemer: Særlige egenskaber ved \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\)
Lineær uafhængighed: Hvordan man tester om vektorer er uafhængige
Praktiske anvendelser: Computer graphics, dataanalyse, machine learning

Disse koncepter er fundamentale for forståelsen af lineær algebra og har mange praktiske anvendelser i softwareudvikling og datavidenskab.

Almindelige Faldgruber¶

Matrix dimensioner: Sørg for at matrix-vektor multiplikation er defineret (antal søjler i matrix = antal rækker i vektor)
Vektor notation: Husk at arbejde med kolonnevektorer i matrixligninger
Frie variable: Når der er frie variable, er der uendeligt mange løsninger
Trivial løsning: Homogene systemer har altid \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\) som løsning
Lineær uafhængighed: Test ved at løse \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) - kun trivial løsning betyder uafhængighed