Øvelser 8:
Vektorer og matricer

I skal lave øvelserne inden timerne torsdag. I kan med fordel lave dem i grupper og diskutere dem indbyrdes. Det er vigtigt, at I forstår opgaverne og kan forklare dem til hinanden. På torsdag diskuterer vi opgaverne, og I skal være klar til at præsentere dem for klassen.

Øvelse 1: Genopfriskning

Du får den augmenterede matrix

\(A =\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 1\\ -4 & 8 & 2 & 4 & -8\\ -2 & 4 & 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}\)​

  1. Hvad er størrelsen af matrixen? (1)

    1. \(3\times5\)

  2. Reducer matrixen til echelonform (enten manuelt eller ved at udføre separate rækkeoperationer i Python)

     

    Bemærk. Der er mange måder at reducere matrixen til echelonform på. Her er en måde at gøre det på.

    \(\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}\)

  3. Brug echelonformen til at finde de basale variable og frie variable

     

    De basale variable er \(x_1\), \(x_3\) og \(x_4\) og den frie variabel er \(x_2\)

  4. Find den generelle løsning til systemet og skriv de basale variable i forhold til de frie variable

     

    Udtryk \(x_1, x_3\), og \(x_4\) i forhold til den frie variabel \(x_2\) : 1. Fra Række 1: \(x_1-2 x_2=1 \Rightarrow x_1=2 x_2+1\) 2. Fra Række 2: \(x_3=-2\) 3. Fra Række 3: \(x_4=0\)

  5. Markér hver af følgende udsagn som SAND eller FALSK

    (i) Matrix A beskriver et system af fem ligninger og tre variable (1)

    1. FALSK

    (ii) Matrix A beskriver et konsistent system af ligninger (1)

    1. SAND

    (iii) En 3x5 augmenteret matrix kan ikke have en unik løsning (1)

    1. SAND

    (iv) En 3x5 augmenteret matrix vil altid være konsistent (1)

    1. FALSK

Øvelse 2: Matrix- og vektorligninger

For hvert af følgende systemer af lineære ligninger, skriv det som (i) en augmenteret matrix (ii) en vektorligning og (iii) en matrixligning.

  1. \(\begin{cases} 2x_1 +3x_2 - 4x_3 =8\\ -x_2 +x_3 + 2x_4 = -2\\ -x_1 + 2x_4 = 3 \end{cases}\)

     

    (i) Augmenteret matrix: \(\begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 & 0 & 8\\ 0 & -1& 1 & 2 & -2\\ -1& 0 & 0 & 2 & 3 \end{bmatrix}\)

    (ii) Vektorligning: \(x_1\begin{bmatrix}2\\\ 0\\\ -1\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}3\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix}+ x_3\begin{bmatrix}-4\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix}+ x_4\begin{bmatrix}0\\\ 2\\\ 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\\ -2\\\ 3\end{bmatrix}\)

    (iii) Matrixligning: \(\begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 & 0 \\ 0 & -1& 1 & 2 \\ -1& 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8\\-2\\3 \end{bmatrix}\)

  2. \(\begin{cases} x_1 + x_2 = 2\\ x_1 -x_2 = 4 \end{cases}\)

     

    (i) Augmenteret matrix: \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 1 & -1& 4 \end{bmatrix}\)

    (ii) Vektorligning: \(x_1\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}+ x_2\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}\)

    (iii) Matrixligning: \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\4 \end{bmatrix}\)

  3. \(\begin{cases} x_1 = 4\\ x_2 = -1\\ x_3 = 10 \end{cases}\)

     

    (i) Augmenteret matrix: \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 10 \end{bmatrix}\)

    (ii) Vektorligning: \(x_1\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+ x_2\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-1\\10\end{bmatrix}\)

    (iii) Matrixligning: \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\-1\\10 \end{bmatrix}\)

Øvelse 3: Lineære kombinationer

Lad

\(\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\ -2\\ 4\end{bmatrix}\), \(\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}3\\ 0\\ 2\end{bmatrix}\) og \(\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}-1\\ 5\\ 1\end{bmatrix}\).

Beregn de lineære kombinationer nedenfor.

  1. \(2\mathbf{v}_1+3\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3\)

     

    \(\begin{bmatrix}10\\1\\15\end{bmatrix}\)

  2. \(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_3\)

     

    \(\begin{bmatrix}2\\-7\\3\end{bmatrix}\)

  3. \(\frac{1}{2}\mathbf{v}_1+\frac{3}{2}\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3\)

     

    \(\begin{bmatrix}4\\4\\6\end{bmatrix}\)

  4. Find løsningen til det lineære system beskrevet af den augmenterede matrix

    \[ \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 & 10 \\ -2 & 0 & 5 & 1 \\ 4 & 2 & 1 & 15 \end{bmatrix} \]
     

    \(\begin{cases} x_1 = 2\\ x_2 = 3\\ x_3 = 1 \end{cases}\)

Øvelse 4: Parametrisk vektorform

I følgende øvelser er løsningen til et sæt lineære ligninger allerede fundet. Din opgave er at skrive løsningen på parametrisk vektorform.

  1. Et system er fundet at have løsningen

    \[ \begin{aligned} x_1 &= 4 - x_2 \\ x_2 &= x_2 \\ x_3 &= -1 + 3x_2 \end{aligned} \]

    hvor \(x_2\) er en fri variabel. Skriv løsningen i parametrisk vektorform.

     

    \(\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right]\)

  2. Et system af ligninger er fundet at have løsningen

    \[ \begin{aligned} x_1 &= 5 + 4x_4 \\ x_2 &= 2 \\ x_3 &= x_3 \\ x_4 &= x_4 \\ x_5 &= -8 + x_3 - 7x_4 \end{aligned} \]

    hvor \(x_3\) og \(x_4\) er frie variable. Skriv løsningen i parametrisk vektorform.

     

    \(\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ -8 \end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -7 \end{array}\right]\)

Øvelse 5: Homogen ligning

Løs den homogene ligning \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) for følgende matricer. Skriv løsningen i parametrisk vektorform.

  1. \(\begin{bmatrix} 4 & -8\\ -3 & 6\end{bmatrix}\)

     

    \(\mathbf{x}=x_2\left[\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right]\)

  2. \(\begin{bmatrix} 4 & -9 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \\ -3 & 1 & 5 \end{bmatrix}\)

     

    \(\mathbf{x}=x_3\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]\)

  3. \(\begin{bmatrix} 2 & -10 & 6 \\ 1 & -5 & 3 \end{bmatrix}\)

     

    \(\mathbf{x}=x_2\left[\begin{array}{l}5 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]\)

    \(\mathbf{x}=x_2\left[\begin{array}{l}5 \\\ 1 \\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}-3 \\\ 0 \\\ 1\end{array}\right]\)

  4. For øvelserne a)-c) giv en geometrisk fortolkning af løsningsmængden.

     

    a) Løsningsmængden er en linje i \(\mathbb{R}^2\), da den har én fri variabel, hvilket repræsenterer et endimensionalt underrum.
    b) Løsningsmængden er en linje i \(\mathbb{R}^3\), da den har én fri variabel, hvilket repræsenterer et endimensionalt underrum.
    c) Løsningsmængden er et plan i \(\mathbb{R}^3\), da den har to frie variable, hvilket repræsenterer et todimensionalt underrum.

Øvelse 6: Lineær uafhængighed

  1. For \(\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ -5 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} 4\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}\), og \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 8\\ 6\\ 12 \end{bmatrix}\) bestem om \(\mathbf{b}\) er en lineær kombination af \(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2\) og \(\mathbf{a}_3\).

     

    Ja, da \(\mathbf{b}=3\mathbf{a}_1-2\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3\)

  2. Lad \(A = \begin{bmatrix}1 & -2 & 4 \\ 0 & 4 & -5 \\ -3 & 6 & -12 \end{bmatrix}\) og \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1 \\ -4 \\ -1\end{bmatrix}\) være givet. Bestem hvorvidt \(\mathbf{b}\) er en lineær kombination af søjlerne i \(A\).

     

    Nej, \(\mathbf{b}\) er ikke en lineær kombination af søjlerne i \(A\)

  3. For \(A = \begin{bmatrix}2 & -6 & 5 \\ 1 & -5 & 1 \\ -2 & 6 & p \end{bmatrix}\) og \(\mathbf{b}= \begin{bmatrix}3 \\ 0 \\ q\end{bmatrix}\) bestem værdierne af \(p\) og \(q\) således at \(\mathbf{b}\) ikke er en lineær kombination af søjlerne i \(A\).

     

    \(p=-5\) og \(q\neq-3\)