Øvelser 1:
Vektorer og matricer

I skal lave øvelserne inden timerne torsdag. I kan med fordel lave dem i grupper og diskutere dem indbyrdes. Det er vigtigt, at I forstår opgaverne og kan forklare dem til hinanden. På torsdag diskuterer vi opgaverne, og I skal være klar til at præsentere dem for klassen.

Øvelse 1: Repetition

Du får den udvidede matrix

\(A =\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 1\\ -4 & 8 & 2 & 4 & -8\\ -2 & 4 & 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}\) ​

a. Hvad er størrelsen af matrixen? (1)

  1. \(3\times5\)

b. Reducer matrixen til echelon form (enten for hånd eller ved at lave separate rækkeoperationer i Python)

 

Bemærk. Der er mange måder at reducere matrixen til echelon form på. Her er en måde at gøre det på.

\(\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}\)

c. Brug echelon formen til at finde de grundlæggende variable og de frie variable

 

De grundlæggende variable er \(x_1\), \(x_3\) og \(x_4\) og den frie variabel er \(x_2\)

d. Find den generelle løsning til systemet og skriv de grundlæggende variable i termer af de frie variable

 

Udtryk \(x_1, x_3\) og \(x_4\) i termer af den frie variabel \(x_2\) : 1. Fra række 1: \(x_1-2 x_2=1 \Rightarrow x_1=2 x_2+1\) 2. Fra række 2: \(x_3=-2\) 3. Fra række 3: \(x_4=0\)

e. Marker hver af følgende udsagn som SAND eller FALSK

(i) Matrixen A beskriver et system af fem ligninger og tre variable (1)

  1. FALSK

(ii) Matrixen A beskriver et konsistent system af ligninger (1)

  1. SAND

(iii) En 3x5 udvidet matrix kan ikke have en unik løsning (1)

  1. SAND (iv) En 3x5 udvidet matrix vil altid være konsistent (1)

  2. FALSK

Øvelse 2: Matrix- og vektorligninger

For hvert af følgende systemer af lineære ligninger skriv det som (i) en udvidet matrix (ii) en vektorligning og (iii) en matrixligning.

a. \(\begin{cases} 2x_1 +3x_2 - 4x_3 =8\\ -x_2 +x_3 + 2x_4 = -2\\ -x_1 + 2x_4 = 3 \end{cases}\)

 

(i) Udvidet matrix: \(\begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 & 0 & 8\\ 0 & -1& 1 & 2 & -2\\ -1& 0 & 0 & 2 & 3 \end{bmatrix}\)

(ii) Vektorligning: \(x_1\begin{bmatrix}2\\ 0\\ -1\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}3\\ -1\\ 0\end{bmatrix}+ x_3\begin{bmatrix}-4\\ 1\\ 0\end{bmatrix}+ x_4\begin{bmatrix}0\\ 2\\ 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\ -2\\ 3\end{bmatrix}\)

(iii) Matrixligning: \(\begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 & 0 \\ 0 & -1& 1 & 2 \\ -1& 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8\\-2\\3 \end{bmatrix}\)

b. \(\begin{cases} x_1 + x_2 = 2\\ x_1 -x_2 = 4 \end{cases}\)

 

(i) Udvidet matrix: \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 1 & -1& 4 \end{bmatrix}\)

(ii) Vektorligning: \(x_1\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}+ x_2\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}\)

(iii) Matrixligning: \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\4 \end{bmatrix}\)

c.\(\begin{cases} x_1 = 4\\ x_2 = -1\\ x_3 = 10 \end{cases}\)

 

(i) Udvidet matrix: \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 10 \end{bmatrix}\)

(ii) Vektorligning: \(x_1\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+ x_2\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-1\\10\end{bmatrix}\)

(iii) Matrixligning: \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\-1\\10 \end{bmatrix}\)

Øvelse 3: Lineære kombinationer

Lad

\(\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\ -2\\ 4\end{bmatrix}\), \(\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}3\\ 0\\ 2\end{bmatrix}\) og \(\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}-1\\ 5\\ 1\end{bmatrix}\).

Beregn de lineære kombinationer nedenfor.

a. \(2\mathbf{v}_1+3\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3\)

 

\(\begin{bmatrix}10\\1\\15\end{bmatrix}\)

b. \(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_3\)

 

\(\begin{bmatrix}2\\-7\\3\end{bmatrix}\)

c. \(\frac{1}{2}\mathbf{v}_1+\frac{3}{2}\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3\)

 

\(\begin{bmatrix}4\\4\\6\end{bmatrix}\)

d. Find løsningen til det lineære system beskrevet af den udvidede matrix

\[ \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 & 10 \\ -2 & 0 & 5 & 1 \\ 4 & 2 & 1 & 15 \end{bmatrix} \]
 

\(\begin{cases} x_1 = 2\\ x_2 = 3\\ x_3 = 1 \end{cases}\)

Øvelse 4: Parametrisk vektorform

I følgende øvelser er løsningen til et sæt lineære ligninger allerede fundet. Dit job er at skrive løsningen på parametrisk vektorform.

a. Et system er fundet til at have løsningen

\[ \begin{aligned} x_1 &= 4 - x_2 \\ x_2 &= x_2 \\ x_3 &= -1 + 3x_2 \end{aligned} \]

hvor \(x_2\) er en fri variabel. Skriv løsningen på parametrisk vektorform.

 

\(\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right]\)

b. Et system af ligninger er fundet til at have løsningen

\[ \begin{aligned} x_1 &= 5 + 4x_4 \\ x_2 &= 2 \\ x_3 &= x_3 \\ x_4 &= x_4 \\ x_5 &= -8 + x_3 - 7x_4 \end{aligned} \]

hvor \(x_3\) og \(x_4\) er frie variable. Skriv løsningen på parametrisk vektorform.

 

\(\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ -8 \end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -7 \end{array}\right]\)

Øvelse 5: Homogen ligning

Løs den homogene ligning \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) for følgende matricer. Skriv løsningen på parametrisk vektorform.

a. \(\begin{bmatrix} 4 & -8\\ -3 & 6\end{bmatrix}\)

 

\(\mathbf{x}=x_2\left[\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right]\)

b. \(\begin{bmatrix} 4 & -9 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \\ -3 & 1 & 5 \end{bmatrix}\)

 

\(\mathbf{x}=x_3\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]\)

c.\(\begin{bmatrix} 2 & -10 & 6 \\ 1 & -5 & 3 \end{bmatrix}\)

 

\(\mathbf{x}=x_2\left[\begin{array}{l}5 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]\)

\(\mathbf{x}=x_2\left[\begin{array}{l}5 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]\)

d. For øvelserne (a)-© giv en geometrisk fortolkning af løsningsmængden.

 

(a) Løsningsmængden er en linje i \(\mathbb{R}^2\), da den har én fri variabel, der repræsenterer et endimensionelt underrum.
(b) Løsningsmængden er en linje i \(\mathbb{R}^3\), da den har én fri variabel, der repræsenterer et endimensionelt underrum.
© Løsningsmængden er et plan i \(\mathbb{R}^3\), da den har to frie variable, der repræsenterer et todimensionelt underrum.

Øvelse 6: Lineær uafhængighed

a. For \(\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ -5 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} 4\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}\), og \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 8\\ 6\\ 12 \end{bmatrix}\) bestem om \(\mathbf{b}\) er en lineær kombination af \(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2\) og \(\mathbf{a}_3\).

 

Ja, da \(\mathbf{b}=3\mathbf{a}_1-2\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3\)

b. Lad \(A = \begin{bmatrix}1 & -2 & 4 \\ 0 & 4 & -5 \\ -3 & 6 & -12 \end{bmatrix}\) og \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1 \\ -4 \\ -1\end{bmatrix}\) være givet. Bestem om \(\mathbf{b}\) er en lineær kombination af kolonnerne i \(A\).

 

Nej \(\mathbf{b}\) er ikke en lineær kombination af kolonnerne i \(A\)

c. For \(A = \begin{bmatrix}2 & -6 & 5 \\ 1 & -5 & 1 \\ -2 & 6 & p \end{bmatrix}\) og \(\mathbf{b}= \begin{bmatrix}3 \\ 0 \\ q\end{bmatrix}\) bestem værdierne af \(p\) og \(q\) sådan at \(\mathbf{b}\) ikke er en lineær kombination af kolonnerne i \(A\).

 

\(p=-5\) og \(q\neq-3\)