M2: Undervisning 1 - gennemgang af eksempler

Til undervisningen gennemgår jeg eksempler, der understøtter og eksemplificerer de emner, vi har dækket i videoerne. Det er vigtigt at forstå, hvordan disse koncepter anvendes i praksis, og hvordan de kan hjælpe dig med at løse problemer inden for softwareudvikling. Denne session foregår synkront på Teams og I kan under undervisningen stille spørgsmål og deltage aktivt i diskussionen. Det er en god mulighed for at få afklaret eventuelle tvivlsspørgsmål og få en dybere forståelse af emnerne. Videoen lægges op efterfølgende, så du kan se den igen, hvis du ønsker det.

Eksempler¶

Det er ikke et krav, at I har kigget på eksemplerne før undervisningen, men det kan være en fordel. I vil også kunne finde videoen fra undervisningen nedenfor, når den er klar. Jeg gennemgår følgende eksempler.

Eksempler fra undervisning 1

Eksempel 1: Matrix- og vektorligninger¶

For følgende system af lineære ligninger, skriv det som (i) en augmenteret matrix, (ii) en vektorligning og (iii) en matrixligning:

\[ \begin{cases} 2x_1 + 3x_2 - 4x_3 = 8 \\ -x_2 + x_3 + 2x_4 = -2 \\ -x_1 + 2x_4 = 3 \end{cases} \]

(i) Augmenteret matrix:

\[\begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 & 0 & 8 \\ 0 & -1 & 1 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & 0 & 2 & 3 \end{bmatrix}\]

(ii) Vektorligning:

\[x_1\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}3\\-1\\0\end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix}-4\\1\\0\end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8\\-2\\3\end{bmatrix}\]

(iii) Matrixligning:

\[\begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8\\-2\\3\end{bmatrix}\]

Eksempel 2: Lineære kombinationer¶

Lad \(\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}1\\-2\\4\end{bmatrix}\), \(\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}3\\0\\2\end{bmatrix}\) og \(\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix}-1\\5\\1\end{bmatrix}\).

Beregn følgende lineære kombinationer:

\(2\mathbf{v}_1 + 3\mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3\)
\(\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_3\)
\(\frac{1}{2}\mathbf{v}_1 + \frac{3}{2}\mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3\)

\(2\mathbf{v}_1 + 3\mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3\):

\[2\begin{bmatrix}1\\-2\\4\end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix}3\\0\\2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1\\5\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\-4\\8\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}9\\0\\6\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1\\5\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}10\\1\\15\end{bmatrix}\]
\(\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_3\):

\[\begin{bmatrix}1\\-2\\4\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-1\\5\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\-7\\3\end{bmatrix}\]
\(\frac{1}{2}\mathbf{v}_1 + \frac{3}{2}\mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3\):

\[\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\-2\\4\end{bmatrix} + \frac{3}{2}\begin{bmatrix}3\\0\\2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1\\5\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.5\\-1\\2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}4.5\\0\\3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1\\5\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\4\\6\end{bmatrix}\]

Eksempel 3: Parametrisk vektorform¶

Et system er fundet at have løsningen:

\[ \begin{aligned} x_1 &= 4 - x_2 \\ x_2 &= x_2 \\ x_3 &= -1 + 3x_2 \end{aligned} \]

hvor \(x_2\) er en fri variabel. Skriv løsningen i parametrisk vektorform.

Parametrisk vektorform:

\[\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\0\\-1\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}-1\\1\\3\end{bmatrix}\]

Forklaring: Løsningen består af en "partikulær løsning" \(\begin{bmatrix}4\\0\\-1\end{bmatrix}\) plus alle mulige lineære kombinationer af "retningsvektoren" \(\begin{bmatrix}-1\\1\\3\end{bmatrix}\) ganget med den frie parameter \(x_2\).

Eksempel 4: Homogene ligninger¶

Løs den homogene ligning \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) for:

\[A = \begin{bmatrix}4 & -8\\-3 & 6\end{bmatrix}\]

Skriv løsningen i parametrisk vektorform.

Række-reduktion af \([A|\mathbf{0}]\):

\[\begin{bmatrix}4 & -8 & 0\\-3 & 6 & 0\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1 & -2 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}\]

Løsning:

\[\mathbf{x} = x_2\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\]

Forklaring: Da \(x_1 = 2x_2\) og \(x_2\) er fri, kan alle løsninger skrives som multipla af vektoren \(\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\).

Eksempel 5: Lineær uafhængighed¶

Bestem om \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix}8\\6\\12\end{bmatrix}\) er en lineær kombination af:

\[\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix}2\\3\\0\end{bmatrix}, \quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix}1\\2\\-5\end{bmatrix}, \quad \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix}4\\1\\2\end{bmatrix}\]

Løs systemet \(x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + x_3\mathbf{a}_3 = \mathbf{b}\):

Augmenteret matrix:

\[\begin{bmatrix}2 & 1 & 4 & 8\\3 & 2 & 1 & 6\\0 & -5 & 2 & 12\end{bmatrix}\]

RREF:

\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 3\\0 & 1 & 0 & -2\\0 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix}\]

Løsning: Ja, \(\mathbf{b} = 3\mathbf{a}_1 - 2\mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3\)

Eksempel 6: Praktisk anvendelse - Computer Graphics¶

I 3D-grafik bruges vektorer til at repræsentere positioner, retninger og transformationer. Et 3D-punkt kan repræsenteres som en vektor \(\mathbf{p} = \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\).

Problem: En spiludvikler vil rotere et 3D-objekt 90° omkring z-aksen. Rotationen kan beskrives som en lineær transformation \(T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}\) hvor:

\[A = \begin{bmatrix}0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]

Hvor vil punktet \(\mathbf{p} = \begin{bmatrix}3\\4\\2\end{bmatrix}\) blive placeret efter rotationen?

Beregning:

\[A\mathbf{p} = \begin{bmatrix}0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\4\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 + 0 \cdot 2\\1 \cdot 3 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 2\\0 \cdot 3 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4\\3\\2\end{bmatrix}\]

Resultat: Punktet \((3,4,2)\) bliver til \((-4,3,2)\) efter 90° rotation omkring z-aksen.