Tutorial 7: Lineær Algebra og Ligningssystemer

Efter denne tutorial vil du kunne:

Forstå og arbejde med matricer og deres operationer.
Identificere echelon form og reduceret echelon form af matricer.
Udføre elementære rækkeoperationer korrekt.
Løse systemer af lineære ligninger ved hjælp af række-reduktion.
Fortolke løsninger til lineære systemer (unik løsning, uendeligt mange løsninger, ingen løsning).
Anvende lineær algebra til praktiske problemer i softwareudvikling.
Arbejde med augmenterede matricer og pivot-positioner.

1. Introduktion til Lineær Algebra¶

Lineær algebra er fundamentet for moderne datavidenskab og softwareudvikling. Fra machine learning algoritmer til grafiske transformationer i spil og 3D-modellering - lineær algebra er overalt i softwareudvikling.

Hvad er et System af Lineære Ligninger?¶

Et system af lineære ligninger er en samling af ligninger hvor hver ligning er lineær (ingen variable er opløftet til potenser højere end 1).

Eksempel:

\[ \begin{aligned} 2x_1 - 3x_2 + x_3 &= 5 \\ x_1 + 2x_2 - x_3 &= 1 \\ -2x_1 + x_2 + 3x_3 &= 0 \end{aligned} \]

Matricer og Augmenterede Matricer¶

En matrix er en rektangulær arrangement af tal organiseret i rækker og kolonner.

Koefficientmatrix indeholder kun koefficienterne:

\[\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 3 \end{bmatrix}\]

Augmenteret matrix inkluderer også højre side af ligningerne:

\[\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 3 & 0 \end{bmatrix}\]

2. Elementære Rækkeoperationer¶

Elementære rækkeoperationer er de grundlæggende operationer vi kan udføre på en matrix uden at ændre løsningssættet til det tilsvarende ligningssystem.

De Tre Elementære Rækkeoperationer¶

1. Swap (Ombytning): Byt om på to rækker

\[r_i \leftrightarrow r_j\]

2. Scaling (Skalering): Gang en række med en konstant (ikke nul)

\[r_i \rightarrow c \cdot r_i \quad \text{hvor } c \neq 0\]

3. Replacement (Erstatning): Læg et multiplum af en række til en anden række

\[r_i \rightarrow r_i + c \cdot r_j\]

Eksempel: Rækkeoperationer¶

Start med matrixen:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\]

Swap: \(r_1 \leftrightarrow r_3\)

\[\begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\]

Scaling: \(r_2 \rightarrow 2 \cdot r_2\)

\[\begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\]

Replacement: \(r_3 \rightarrow r_3 - 2r_1\)

\[\begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 8 & 10 & 12 \\ -13 & -14 & -15 \end{bmatrix}\]

3. Echelon Form og Reduceret Echelon Form¶

Echelon Form (Række-Echelon Form)¶

En matrix er i echelon form hvis:

Alle rækker med kun nuller er nederst
Den første ikke-nul element (pivot) i hver række er til højre for pivots i rækkerne ovenfor
Pivots behøver ikke at være 1

Eksempel på echelon form:

\[\begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\]

Reduceret Echelon Form (RREF)¶

En matrix er i reduceret echelon form hvis:

Den er i echelon form
Alle pivots er 1
Der er kun nuller over og under hver pivot

Eksempel på reduceret echelon form:

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\]

Identifikation af Matrixformer¶

Eksempel: Bestem hvilken form følgende matricer er i:

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\) → Reduceret echelon form
\(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}\) → Echelon form
\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\) → Hverken (pivot i række 3 er til venstre for pivot i række 2)

4. Række-Reduktion Algoritmen¶

Fremgangsmåde for at Få RREF¶

Start med den første kolonne og find den første ikke-nul element
Ombyt rækker hvis nødvendigt for at få pivot øverst
Skaler for at få pivot = 1
Eliminer alle elementer under pivots ved at bruge erstatning
Gentag for næste kolonne

Eksempel: Række-Reduktion¶

Lad os reducere følgende matrix til RREF:

\[\begin{bmatrix} 2 & -4 & 6 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}\]

Trin 1: Ombyt rækker for at få pivot øverst

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & 6 & 2 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}\]

Trin 2: Eliminer under første pivot

\[r_2 \rightarrow r_2 - 2r_1: \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & -4 & 4 & -4 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}\]

\[r_3 \rightarrow r_3 + 2r_1: \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & -4 & 4 & -4 \\ 0 & 2 & 2 & 8 \end{bmatrix}\]

Trin 3: Arbejd med anden kolonne

\[r_2 \rightarrow -\frac{1}{4}r_2: \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 8 \end{bmatrix}\]

\[r_3 \rightarrow r_3 - 2r_2: \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 6 \end{bmatrix}\]

Trin 4: Arbejd med tredje kolonne

\[r_3 \rightarrow \frac{1}{4}r_3: \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1.5 \end{bmatrix}\]

Trin 5: Eliminer over pivots

\[r_1 \rightarrow r_1 - r_3: \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1.5 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1.5 \end{bmatrix}\]

\[r_2 \rightarrow r_2 + r_3: \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1.5 \\ 0 & 1 & 0 & 2.5 \\ 0 & 0 & 1 & 1.5 \end{bmatrix}\]

Resultat: Matrixen er nu i RREF med løsningen \(x_1 = 1.5\), \(x_2 = 2.5\), \(x_3 = 1.5\).

5. Fortolkning af Løsninger¶

Tre Typer af Løsninger¶

1. Unik Løsning

Der er en pivot i hver kolonne af koefficientdelen
RREF ligner: \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \end{bmatrix}\)

2. Uendeligt Mange Løsninger

Der er mindre pivots end variabler
Nogle variable er "frie" (kan vælges frit)
RREF ligner: \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & a \\ 0 & 1 & -1 & b \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

3. Ingen Løsning (Inkonsistent)

Der er en pivot i højre side af den augmenterede matrix
RREF ligner: \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Eksempel: Fortolkning af Løsninger¶

Unik løsning:

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end{cases}\]

Uendeligt mange løsninger:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 4 - 2x_2 \\ x_2 \text{ fri} \\ x_3 = 2 \end{cases}\]

Ingen løsning:

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \text{Inkonsistent (0 = 1 er umuligt)}\]

6. Praktiske Anvendelser¶

Kostplanlægning¶

En softwareudvikler vil planlægge sin kost med smør, æbler og havre. Næringsværdier per 100g:

Næringsværdier	Smør	Æble	Havre
Protein (g)	0.2	0.3	14.0
Fedt (g)	82.5	0.2	6.9
Kulhydrater (g)	0.0	12.1	57.0

System af ligninger:

\[ \begin{cases} 0.2x_1 + 0.3x_2 + 14.0x_3 = 50 \quad \text{(protein)} \\ 82.5x_1 + 0.2x_2 + 6.9x_3 = 70 \quad \text{(fedt)} \\ 0.0x_1 + 12.1x_2 + 57.0x_3 = 260 \quad \text{(kulhydrater)} \end{cases} \]

Dette kan løses ved række-reduktion for at finde de optimale mængder.

Software Performance Optimering¶

I softwareudvikling bruges lineære systemer til:

Load balancing: Fordele requests mellem servere
Resource allocation: Optimere CPU, hukommelse og disk forbrug
Network routing: Finde optimale ruter i netværk
Machine learning: Lineære regression og klassifikation
Computer graphics: 3D transformationer og rendering

7. Almindelige Fejl og Faldgruber¶

Række-Reduktion Fejl¶

Fejl 1: Glemmer at skifte fortegn ved subtraktion

Forkert: \(r_2 \rightarrow r_2 - 3r_1\) hvor \(r_1 = [1, 2, 3]\) giver \(r_2 = [4, 5, 6] - [3, 6, 9] = [1, -1, -3]\)
Korrekt: \(r_2 = [4, 5, 6] - [3, 6, 9] = [1, -1, -3]\) ✓

Fejl 2: Blander række- og kolonne-operationer

Forkert: At bytte kolonner (ændrer løsningssættet)
Korrekt: Kun række-operationer bevarer løsningssættet

Fejl 3: Glemmer at tjekke for inkonsistens

Forkert: Fortsætter række-reduktion selv når der er pivot i højre side
Korrekt: Stop når du ser en række som \([0, 0, 0, 1]\) (inkonsistent)

Fortolkning af Løsninger¶

Fejl 4: Forveksler frie variable

Forkert: At tro at alle variable har unikke værdier
Korrekt: Identificer pivots for at finde basale vs. frie variable

Fejl 5: Forkert identifikation af matrixformer

Forkert: At tro at en matrix med pivots = 1 automatisk er RREF
Korrekt: Tjek også at der kun er nuller over og under pivots

Opsummering¶

I denne tutorial har du lært de grundlæggende koncepter i lineær algebra:

Matricer og augmenterede matricer - Repræsentation af lineære systemer
Elementære rækkeoperationer - Swap, scaling, replacement
Echelon former - Identifikation af matrixformer
Række-reduktion - Systematisk fremgangsmåde til RREF
Løsningsfortolkning - Unik, uendeligt mange, eller ingen løsninger
Praktiske anvendelser - Fra kostplanlægning til software optimering

Disse værktøjer er fundamentale for at forstå og løse komplekse problemer i softwareudvikling, machine learning og datavidenskab.

Almindelige Faldgruber¶

Række-operationer: Blander række- og kolonne-operationer eller glemmer fortegnsregler.
Matrixformer: Forveksler echelon form med reduceret echelon form.
Løsningsfortolkning: Glemmer at identificere frie variable eller inkonsistente systemer.
Pivot-identifikation: Ikke korrekt at identificere pivot-positioner og deres betydning.
Række-reduktion: Ikke systematisk fremgangsmåde eller glemmer at tjekke for inkonsistens.
Praktisk anvendelse: Ikke at oversætte praktiske problemer til lineære systemer korrekt.