Øvelser 1:
Lineære ligninger i lineær algebra
I skal lave øvelserne inden timerne torsdag. I kan med fordel lave dem i grupper og diskutere dem indbyrdes. Det er vigtigt, at I forstår opgaverne og kan forklare dem til hinanden. På torsdag diskuterer vi opgaverne, og I skal være klar til at præsentere dem for klassen.
Øvelse 1: Repetition af betinget sandsynlighed¶
I en by med 20.000 mennesker blev der begået en forbrydelse. Beviser tyder på, at gerningsmanden må være nogen fra byen. Politiet har fundet blod på gerningsstedet, og de er sikre på, at dette blod tilhører gerningsmanden. Sandsynligheden for at en tilfældig uskyldig person matcher blodtypen af beviset er 0.01.
a. Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig person fra byen er skyldig?
\(\frac{1}{20000}=0.00005\)
b. Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig person fra byen er skyldig, givet at personen matcher blodtypen af beviset?
\(0.00498 = 0.498\)%
Fra blodprøven er det muligt at udtrække et DNA-profil sådan at sandsynligheden for at en tilfældig uskyldig person vil matche DNA-profilen er 0.0001.
c. Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig person fra byen er skyldig, givet at personen matcher DNA-profilen af beviset?
\(0.333 = 33.3\)%
Øvelse 2: Echelon og reduceret echelon form¶
Bestem om følgende matricer er i reduceret echelon form, echelon form eller ingen af delene.
a. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -3 & 0\end{bmatrix}\)
b. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & 5\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
c. \(\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 4\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
d. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}\)
e. \(\begin{bmatrix} 0 & 3 & 0 & 4\\ 0 & 0 & -2 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 7\end{bmatrix}\)
f. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
a. reduceret echelon form
b. echelon form
c. echelon form
d. ingen af delene
e. echelon form
f. echelon form
Øvelse 3: Rækkeoperationer¶
Forklar hvilke rækkeoperationer der bruges i beregningerne nedenfor.
a. \(\begin{bmatrix} 4 & -3 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -5 & 6 \\ 1 & 1 & 2 & 4 \\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & -5 & 6 \\ 4 & -3 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}\)
Ombytning: \(r_1 \leftrightarrow r_3\)
b. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & -5 & 6 \\ 4 & -3 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & -2 & -11 & -6 \\ 4 & -3 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}\)
Erstatning: \(r_2 \rightarrow r_2 - 3r_1\)
c. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & -2 & -11 & -6 \\ 4 & -3 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & -2 & -11 & -6 \\ 0 & -7 & -7 & -14 \\ \end{bmatrix}\)
Erstatning: \(r_3 \rightarrow r_3 - 4r_1\)
d. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & -2 & -11 & -6 \\ 0 & -7 & -7 & -14 \\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & -2 & -11 & -6 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}\)
Skalering: \(r_3 \rightarrow -\frac{1}{7}r_3\)
e. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & -2 & -11 & -6 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -11 & -6 \\ \end{bmatrix}\)
Ombytning: \(r_2 \leftrightarrow r_3\)
f. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -11 & -6 \\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -9 & -2 \\ \end{bmatrix}\)
Erstatning: \(r_3 \rightarrow r_3 + 2r_2\)
g. Den reducerede matrix fra (f) er den udvidede matrix for et system af lineære ligninger. Har dette system ingen løsning, en unik løsning eller uendeligt mange løsninger?
Systemet har en unik løsning, da der er en pivot i hver kolonne af koefficientdelen af den reducerede matrix.
Øvelse 4: System af lineære ligninger¶
Givet følgende system af lineære ligninger:
a. Skriv den udvidede matrix for systemet.
\(\begin{bmatrix} 2 & -4 & 6 & 2\\ 1 & 0 & 1 & 3\\ -4& 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}\)
b. Brug rækkeoperationer til at få den reducerede rækkeechelon form af matrixen og skriv løsningen.
RREF: \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\)
Løsning: \(\begin{cases} x_1 = 1\\ x_2 = 3\\ x_3 = 2 \end{cases}\)
Øvelse 5: Rækkereduktion¶
Løs systemerne hvis udvidede matricer er givet nedenfor. Skriv den generelle løsning, dvs. skriv de grundlæggende variable i termer af de frie variable.
a. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 8 & 9 & 4\end{bmatrix}\)
\(\begin{cases} x_1 = -8-2x_2\\ x_2 \text{ fri}\\ x_3 = 4 \end{cases}\)
b. \(\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 3\\ 4 & -2 & -8 & 2\end{bmatrix}\)
$\begin{cases} x_1 = -2+2x_3\ x_2 = -5\ x_3 \text{ fri}
\end{cases}$
c. \(\begin{bmatrix} -2 & 4 & -3 & 0\\ 4 & -8 & 6& 0\\ -6& 12& -9 & 0\end{bmatrix}\)
\(\begin{cases} x_1 = 2x_2 - \frac{3}{2}x_3\\ x_2 \text{ fri}\\ x_3 \text{ fri} \end{cases}\)
Øvelse 6: Konsistens af systemet¶
Hvilke af de udvidede matricer nedenfor repræsenterer et inkonsistent system af ligninger?
a. \(\begin{bmatrix} 0 & 3 & -2 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
b. \(\begin{bmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}\)
c. \(\begin{bmatrix} 7 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
d. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
e. \(\begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 & 9\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 4 & 0 \end{bmatrix}\)
f. \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 6 & 3 \end{bmatrix}\)
inkonsistent: b, c, d
konsistent: a, e, f
g. For de konsistente systemer find den generelle løsning.
a. \(\begin{cases} x_1 \text{ fri}\\ x_2 = -\frac{7}{3}\\ x_3 = -4 \end{cases}\)
e. \(\begin{cases} x_1 = - 3\\ x_2 = 0\\ x_3 = 0 \end{cases}\)
f. \(\begin{cases} x_1 \text{ fri}\\ x_2 \text{ fri}\\ x_3 = \frac{1}{2} \end{cases}\)
Øvelse 7: Planlæg en kost¶
Brug Python til at løse denne øvelse.
I en uge beslutter du dig for kun at spise smør, æbler og havre.
| Næringsværdier per 100 g | Smør | Æble | Havre | Rugbrød |
|---|---|---|---|---|
| Protein (g) | 0.2 | 0.3 | 14.0 | 6.4 |
| Fedt (g) | 82.5 | 0.2 | 6.9 | 4.7 |
| Kulhydrater (g) | 0.0 | 12.1 | 57.0 | 32.0 |
a. Hvor meget smør, æble og havre skal du spise for at få 50 g protein, 70 g fedt og 260 g kulhydrater per dag?
\(\begin{cases} 54.7 \text{ g smør}\\ 522.8\text{ g æble}\\ 345.2 \text{ g havre}\end{cases}\)
Næste uge beslutter du dig for at erstatte æbler med rugbrød.
b. Er det muligt at planlægge en kost af smør, rugbrød og havre for stadig at få 50 g protein, 70 g fedt og 260 g kulhydrater per dag?
Nej, systemet af lineære ligninger har en unik løsning. Men løsningen indeholder en negativ mængde havre, hvilket ikke giver mening.