Gå til indholdet

M2: Undervisning 1 - gennemgang af eksempler

Til undervisningen gennemgår jeg eksempler, der understøtter og eksemplificerer de emner, vi har dækket i videoerne. Det er vigtigt at forstå, hvordan disse koncepter anvendes i praksis, og hvordan de kan hjælpe dig med at løse problemer inden for softwareudvikling. Denne session foregår synkront på Teams og I kan under undervisningen stille spørgsmål og deltage aktivt i diskussionen. Det er en god mulighed for at få afklaret eventuelle tvivlsspørgsmål og få en dybere forståelse af emnerne. Videoen lægges op efterfølgende, så du kan se den igen, hvis du ønsker det.

Eksempler

Det er ikke et krav, at I har kigget på eksemplerne før undervisningen, men det kan være en fordel. I vil også kunne finde videoen fra undervisningen nedenfor, når den er klar. Jeg gennemgår følgende eksempler.

Eksempler fra undervisning 1

Eksempel 1: Echelon og reduceret echelon form

Bestem hvorvidt følgende matricer er i reduceret echelon form, echelon form eller hverken:

  1. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -3 & 0\end{bmatrix}\)

  2. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & 5\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)

  3. \(\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 4\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)

     

    1. Reduceret echelon form - alle pivot-elementer er 1, og der er kun nuller over og under hver pivot.

    2. Echelon form - matrixen er i echelon form, men ikke reduceret echelon form, da der er ikke-nul elementer over pivots.

    3. Echelon form - matrixen er i echelon form, men ikke reduceret echelon form.

Eksempel 2: Rækkeoperationer

Forklar hvilke rækkeoperationer der bruges i følgende transformationer:

  1. \(\begin{bmatrix} 4 & -3 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -5 & 6 \\ 1 & 1 & 2 & 4 \\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & -5 & 6 \\ 4 & -3 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}\)

  2. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & -5 & 6 \\ 4 & -3 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & -2 & -11 & -6 \\ 4 & -3 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}\)

     

    1. Swap operation: \(r_1 \leftrightarrow r_3\) - vi bytter om på række 1 og række 3.

    2. Erstatning: \(r_2 \rightarrow r_2 - 3r_1\) - vi trækker 3 gange række 1 fra række 2.

Eksempel 3: System af lineære ligninger

Givet følgende system af lineære ligninger:

\[ \begin{aligned} 2x_1 - 4x_2 + 6x_3 &= 2 \\ x_1 + x_3 &= 3 \\ -4x_1 + 2x_2 &= 2 \end{aligned} \]

  1. Skriv den augmenterede matrix for systemet.

  2. Brug rækkeoperationer til at få den reducerede række-echelon form og find løsningen.

     

    1. Augmenteret matrix: \(\begin{bmatrix} 2 & -4 & 6 & 2\\ 1 & 0 & 1 & 3\\ -4& 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}\)

    2. RREF og løsning: \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\)

    Løsning: \(\begin{cases} x_1 = 1\\ x_2 = 3\\ x_3 = 2 \end{cases}\)

Eksempel 4: Rækkereduktion med frie variable

Løs systemet hvis augmenterede matrix er:

\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 8 & 9 & 4\end{bmatrix}\)

Skriv den generelle løsning ned.

 

Rækkeoperationer: \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 8 & 9 & 4\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 0 & -3 & -12\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 4\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -8\\ 0 & 0 & 1 & 4\end{bmatrix}\)

Generel løsning: \(\begin{cases} x_1 = -8-2x_2\\ x_2 \text{ fri (frit valg)}\\ x_3 = 4 \end{cases}\)

Eksempel 5: Konsistens af systemer

Hvilke af følgende augmenterede matricer repræsenterer inkonsistente systemer?

  1. \(\begin{bmatrix} 0 & 3 & -2 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

  2. \(\begin{bmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}\)

  3. \(\begin{bmatrix} 7 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

 

Inkonsistente systemer: 2, 3

Forklaring:

  1. Konsistent - ingen pivot i højre side
  2. Inkonsistent - pivot i højre side (0x₁ + 0x₂ + 0x₃ = 6 er umuligt)
  3. Inkonsistent - pivot i højre side (0x₁ + 0x₂ = 3 er umuligt)

Eksempel 6: Praktisk anvendelse - Kostplanlægning

En softwareudvikler vil planlægge sin kost for en uge med kun smør, æbler og havre. Næringsværdier per 100g:

Næringsværdier Smør Æble Havre
Protein (g) 0.2 0.3 14.0
Fedt (g) 82.5 0.2 6.9
Kulhydrater (g) 0.0 12.1 57.0

Hvor meget af hver skal spises for at få 50g protein, 70g fedt og 260g kulhydrater per dag?

 

System af ligninger:

\[ \begin{cases} 0.2x_1 + 0.3x_2 + 14.0x_3 = 50 \quad \text{(protein)} \\ 82.5x_1 + 0.2x_2 + 6.9x_3 = 70 \quad \text{(fedt)} \\ 0.0x_1 + 12.1x_2 + 57.0x_3 = 260 \quad \text{(kulhydrater)} \end{cases} \]

hvor \(x_1\) = mængde smør (100g), \(x_2\) = mængde æbler (100g), \(x_3\) = mængde havre (100g).

Løsning:

\[ \begin{cases} x_1 \approx 54.7 \text{ g smør} \\ x_2 \approx 522.8 \text{ g æbler} \\ x_3 \approx 345.2 \text{ g havre} \end{cases} \]

Undervisning 1: Videolektion