M2: Undervisning 1 - gennemgang af eksempler
Til undervisningen gennemgår jeg eksempler, der understøtter og eksemplificerer de emner, vi har dækket i videoerne. Det er vigtigt at forstå, hvordan disse koncepter anvendes i praksis, og hvordan de kan hjælpe dig med at løse problemer inden for softwareudvikling. Denne session foregår synkront på Teams og I kan under undervisningen stille spørgsmål og deltage aktivt i diskussionen. Det er en god mulighed for at få afklaret eventuelle tvivlsspørgsmål og få en dybere forståelse af emnerne. Videoen lægges op efterfølgende, så du kan se den igen, hvis du ønsker det.
Eksempler¶
Det er ikke et krav, at I har kigget på eksemplerne før undervisningen, men det kan være en fordel. I vil også kunne finde videoen fra undervisningen nedenfor, når den er klar. Jeg gennemgår følgende eksempler.
Eksempel 1: Betinget Sandsynlighed med Terninger¶
Vi kaster to terninger. Hvad er sandsynligheden for at summen er 8, givet at den første terning viser 3?
Lad \(A\) = "summen er 8" og \(B\) = "første terning viser 3"
\(P(B) = \frac{1}{6}\) (første terning viser 3)
\(P(A \cap B) = \frac{1}{36}\) (kun (3,5) giver sum 8 når første terning er 3)
\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{6}\)
Eksempel 2: Loven om Total Sandsynlighed - Produktionslinje¶
En fabrik har tre produktionslinjer A, B og C. Linje A producerer 40% af produkterne med 2% defekte. Linje B producerer 35% med 3% defekte. Linje C producerer 25% med 1% defekte.
Hvad er sandsynligheden for at et tilfældigt produkt er defekt?
Lad \(D\) = "produkt er defekt" og \(L_i\) = "produkt kommer fra linje \(i\)"
\(P(L_A) = 0.4\), \(P(D|L_A) = 0.02\)
\(P(L_B) = 0.35\), \(P(D|L_B) = 0.03\)
\(P(L_C) = 0.25\), \(P(D|L_C) = 0.01\)
Ved loven om total sandsynlighed: \(P(D) = P(D|L_A) \cdot P(L_A) + P(D|L_B) \cdot P(L_B) + P(D|L_C) \cdot P(L_C)\)
\(P(D) = 0.02 \cdot 0.4 + 0.03 \cdot 0.35 + 0.01 \cdot 0.25 = 0.008 + 0.0105 + 0.0025 = 0.021\)
Eksempel 3: Bayes' Teorem - Spam-filtrering¶
En email-system har følgende statistikker:
- 20% af alle emails er spam
- 90% af spam emails indeholder ordet "gratis"
- 5% af normale emails indeholder ordet "gratis"
Hvad er sandsynligheden for at en email er spam, givet at den indeholder ordet "gratis"?
Lad \(S\) = "email er spam" og \(G\) = "email indeholder 'gratis'"
\(P(S) = 0.2\), \(P(G|S) = 0.9\), \(P(G|S^c) = 0.05\)
Først finder vi \(P(G)\) ved loven om total sandsynlighed: \(P(G) = P(G|S) \cdot P(S) + P(G|S^c) \cdot P(S^c) = 0.9 \cdot 0.2 + 0.05 \cdot 0.8 = 0.18 + 0.04 = 0.22\)
Ved Bayes' teorem: \(P(S|G) = \frac{P(G|S) \cdot P(S)}{P(G)} = \frac{0.9 \cdot 0.2}{0.22} = \frac{0.18}{0.22} \approx 0.818\)
Der er 81.8% sandsynlighed for at emailen er spam.
Eksempel 4: Uafhængighed - Kortspil¶
Vi trækker to kort fra et standard kortspil (52 kort) uden tilbagelægning. Lad \(A\) = "første kort er rødt" og \(B\) = "andet kort er hjerter".
Er \(A\) og \(B\) uafhængige?
\(P(A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}\) (halvdelen af kortene er røde)
\(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) (en fjerdedel er hjerter)
\(P(A \cap B)\) = sandsynligheden for at første kort er rødt OG andet kort er hjerter. Dette kan ske på to måder: - Første kort er hjerter, andet kort er hjerter: \(\frac{13}{52} \cdot \frac{12}{51}\) - Første kort er spar, andet kort er hjerter: \(\frac{13}{52} \cdot \frac{13}{51}\)
\(P(A \cap B) = \frac{13}{52} \cdot \frac{12}{51} + \frac{13}{52} \cdot \frac{13}{51} = \frac{13}{52} \cdot \frac{25}{51} = \frac{325}{2652}\)
\(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} = \frac{331.5}{2652}\)
Da \(P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)\), er \(A\) og \(B\) ikke uafhængige.
Eksempel 5: Kontingenstabel - Studerende og Fag¶
En undersøgelse af 300 studerende gav følgende resultater:
| Matematik | Fysik | Kemi | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Mand | 45 | 30 | 25 | 100 |
| Kvinde | 60 | 40 | 100 | 200 |
| Total | 105 | 70 | 125 | 300 |
Find følgende sandsynligheder:
- Sandsynligheden for at en tilfældig studerende er kvinde
- Sandsynligheden for at en studerende studerer matematik, givet at de er kvinde
- Sandsynligheden for at en studerende er mand, givet at de studerer fysik
a) \(P(\text{Kvinde}) = \frac{200}{300} = \frac{2}{3}\)
b) \(P(\text{Matematik}|\text{Kvinde}) = \frac{60}{200} = \frac{3}{10}\)
c) \(P(\text{Mand}|\text{Fysik}) = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}\)
Eksempel 6: Kompleks Bayes' Teorem - Medicinsk Test¶
En medicinsk test for en sjælden sygdom har følgende egenskaber:
- Sygdommen forekommer hos 0.5% af befolkningen
- Testen er positiv hos 98% af dem der har sygdommen
- Testen er positiv hos 3% af dem der ikke har sygdommen
En person får et positivt testresultat. Hvad er sandsynligheden for at personen faktisk har sygdommen?
Lad \(S\) = "person har sygdommen" og \(T^+\) = "test er positiv"
\(P(S) = 0.005\), \(P(T^+|S) = 0.98\), \(P(T^+|S^c) = 0.03\)
Først finder vi \(P(T^+)\) ved loven om total sandsynlighed: \(P(T^+) = P(T^+|S) \cdot P(S) + P(T^+|S^c) \cdot P(S^c)\) \(P(T^+) = 0.98 \cdot 0.005 + 0.03 \cdot 0.995 = 0.0049 + 0.02985 = 0.03475\)
Ved Bayes' teorem: \(P(S|T^+) = \frac{P(T^+|S) \cdot P(S)}{P(T^+)} = \frac{0.98 \cdot 0.005}{0.03475} = \frac{0.0049}{0.03475} \approx 0.141\)
Der er kun 14.1% sandsynlighed for at personen faktisk har sygdommen, selv med et positivt testresultat!