M2: Undervisning 1 - gennemgang af eksempler
Til undervisningen gennemgår jeg eksempler, der understøtter og eksemplificerer de emner, vi har dækket i videoerne. Det er vigtigt at forstå, hvordan disse koncepter anvendes i praksis, og hvordan de kan hjælpe dig med at løse problemer inden for softwareudvikling. Denne session foregår synkront på Teams og I kan under undervisningen stille spørgsmål og deltage aktivt i diskussionen. Det er en god mulighed for at få afklaret eventuelle tvivlsspørgsmål og få en dybere forståelse af emnerne. Videoen lægges op efterfølgende, så du kan se den igen, hvis du ønsker det.
Eksempler¶
Det er ikke et krav, at I har kigget på eksemplerne før undervisningen, men det kan være en fordel. I vil også kunne finde videoen fra undervisningen nedenfor, når den er klar. Jeg gennemgår følgende eksempler.
Eksempel 1: Mængdeoperationer og Kardinalitet¶
Betragt mængderne \(A=\{1, 3, 5, 7, 9\}\), \(B=\{2, 3, 5, 7, 11\}\), og \(C=\{1, 2, 3, 4, 5\}\) med universalmængden \(U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}\).
- Bestem \(A \cup B\) og \(|A \cup B|\)
- Bestem \(A \cap B\) og \(|A \cap B|\)
- Bestem \(A \setminus B\) og \(|A \setminus B|\)
- Bestem \(A^c\) (komplementet af \(A\))
- Bestem \(A \oplus B\) (symmetrisk forskel)
- \(A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9, 11\}\) og \(|A \cup B| = 7\)
- \(A \cap B = \{3, 5, 7\}\) og \(|A \cap B| = 3\)
- \(A \setminus B = \{1, 9\}\) og \(|A \setminus B| = 2\)
- \(A^c = \{2, 4, 6, 8, 10, 11\}\)
- \(A \oplus B = \{1, 2, 9, 11\}\)
Eksempel 2: Delmængder og Potensmængde¶
Lad \(S = \{a, b, c\}\).
- Bestem alle delmængder af \(S\)
- Bestem kardinaliteten af potensmængden \(\mathcal{P}(S)\)
- Hvor mange delmængder indeholder elementet \(a\)?
- Er \(\{a, b\}\) en egentlig delmængde af \(S\)?
- \(\mathcal{P}(S) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}\}\)
- \(|\mathcal{P}(S)| = 2^3 = 8\)
- \(2^{3-1} = 4\) delmængder indeholder \(a\): \(\{a\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,b,c\}\)
- Ja, \(\{a, b\} \subset S\) da \(\{a, b\} \subseteq S\) og \(\{a, b\} \neq S\)
Eksempel 3: Mængdeidentiteter og Bevis¶
Vis følgende mængdeidentiteter ved hjælp af de kendte love:
-
\((A \cup B) \cap (A \cup C) = A \cup (B \cap C)\)
-
\((A \cap B) \cup (A \cap B^c) = A\)
-
\((A \cup B)^c \cup A = A \cup B^c\)
-
Distributiv lov: \((A \cup B) \cap (A \cup C) = A \cup (B \cap C)\)
-
Distributiv lov: \((A \cap B) \cup (A \cap B^c) = A \cap (B \cup B^c)\)
Komplementlov: \(= A \cap U\)
Identitetslov: \(= A\) -
De Morgan: \((A \cup B)^c \cup A = (A^c \cap B^c) \cup A\)
Distributiv lov: \(= (A^c \cup A) \cap (B^c \cup A)\)
Komplementlov: \(= U \cap (A \cup B^c)\)
Identitetslov: \(= A \cup B^c\)
Eksempel 4: Medlemsskabstabeller¶
Brug medlemsskabstabeller til at vise at \(A \cup (A \cap B) = A\):
| \(A\) | \(B\) | \(A \cap B\) | \(A \cup (A \cap B)\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Da kolonnen for \(A \cup (A \cap B)\) er identisk med kolonnen for \(A\), beviser vi identiteten.
Eksempel 5: Intervalnotation og Set-Builder Notation¶
Konverter mellem intervalnotation og set-builder notation:
- \(\{x \in \mathbb{R} \mid -3 \leq x < 5\}\)
- \((-\infty, 2] \cup (7, \infty)\)
- \(\{x \in \mathbb{R} \mid |x| > 4\}\)
- \([-3, 5)\)
- \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 2 \text{ eller } x > 7\}\)
- \((-\infty, -4) \cup (4, \infty)\)
Eksempel 6: Anvendelse i Softwareudvikling¶
En database indeholder brugere med følgende egenskaber:
- \(A\) = brugere der kan Python
- \(B\) = brugere der kan Java
- \(C\) = brugere der kan JavaScript
- Hvad repræsenterer \(A \cap B \cap C\)?
- Hvad repræsenterer \((A \cup B) \setminus C\)?
- Hvad repræsenterer \(A \oplus B\)?
- Brugere der kan alle tre sprog (Python, Java og JavaScript)
- Brugere der kan Python eller Java, men ikke JavaScript
- Brugere der kan præcis ét af sprogene Python eller Java (ikke begge)