Tutorial 2: Talsystemer

Efter denne tutorial vil du kunne:

Forstå hvordan forskellige talsystemer (binær, decimal, hexadecimal) fungerer
Konvertere mellem binære tal og decimale tal i begge retninger
Konvertere mellem hexadecimale tal og decimale tal i begge retninger
Konvertere mellem binære og hexadecimale tal
Udføre simple regneoperationer med binære tal (addition og multiplikation)
Forstå sammenhængen mellem forskellige talsystemer og deres anvendelse i programmering

1. Grundlæggende om Talsystemer¶

Et talsystem er en måde at repræsentere tal på ved hjælp af cifre. Det talsystem vi bruger til daglig er decimalsystemet (grundtal 10), som bruger cifrene 0-9.

Grundtal (base) angiver hvor mange forskellige cifre der bruges i systemet:

Decimalsystemet (base 10): Bruger cifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Binærsystemet (base 2): Bruger kun cifrene 0 og 1
Hexadecimalsystemet (base 16): Bruger cifrene 0-9 og bogstaverne A-F (hvor \(A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15\))

2. Positionsværdi og Udvidelse¶

I alle talsystemer har hver position en bestemt værdi baseret på grundtallet opløftet til en potens.

Decimalsystemet: Tallet \(1234_{10}\) kan skrives som:

\[1 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 = 1000 + 200 + 30 + 4 = 1234\]

Binærsystemet: Tallet \(1101_2\) kan skrives som:

\[1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10}\]

Hexadecimalsystemet: Tallet \(2A3_{16}\) kan skrives som:

\[2 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 3 \cdot 16^0 = 512 + 160 + 3 = 675_{10}\]

3. Konvertering fra Binær til Decimal¶

Metode: Brug positionsværdi-udvidelsen

Eksempel: Konverter \(1011_2\) til decimal

Identificer positionerne fra højre: \(2^0, 2^1, 2^2, 2^3\)
Multiplicer hvert ciffer med dets positionsværdi: \(1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0\)
Beregn: \(8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}\)

Trinvis fremgangsmåde:

Skriv positionsværdierne under hvert ciffer (fra højre: \(2^0, 2^1, 2^2, \dots\))
Multiplicer hvert ciffer med dets positionsværdi
Læg alle produkter sammen

4. Konvertering fra Decimal til Binær¶

Metode: Gentagen division med 2

Eksempel: Konverter \(13_{10}\) til binær

Divider med 2 og noter resten:
- \(13 \div 2 = 6 \text{ rest } 1\)
- \(6 \div 2 = 3 \text{ rest } 0\)
- \(3 \div 2 = 1 \text{ rest } 1\)
- \(1 \div 2 = 0 \text{ rest } 1\)
Læs resterne bagfra: \(1101_2\)

Alternativ metode: Find den største potens af 2

Find den største potens af 2 der er \(\le\) tallet
Træk denne potens fra
Gentag indtil der ikke er noget tilbage
Marker positionerne for de anvendte potenser med 1, resten med 0

Eksempel: \(49_{10}\) til binær

\(49 \ge 32 = 2^5\) ✓ \(\rightarrow 49 - 32 = 17\)
\(17 \ge 16 = 2^4\) ✓ \(\rightarrow 17 - 16 = 1\)
\(1 < 8 = 2^3\) ✗
\(1 < 4 = 2^2\) ✗
\(1 < 2 = 2^1\) ✗
\(1 \ge 1 = 2^0\) ✓ \(\rightarrow 1 - 1 = 0\)

Resultat: \(110001_2\) (positioner: \(2^5, 2^4, 2^0\))

5. Konvertering mellem Hexadecimal og Decimal¶

Fra Hexadecimal til Decimal:

Brug positionsværdi-udvidelsen med grundtal 16

Eksempel: \(2F_{16}\) til decimal

\[2 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 32 + 15 = 47_{10}\]

Fra Decimal til Hexadecimal:

Gentagen division med 16

Eksempel: \(255_{10}\) til hexadecimal

\(255 \div 16 = 15 \text{ rest } 15 \text{ (F)}\)
\(15 \div 16 = 0 \text{ rest } 15 \text{ (F)}\)

Resultat: \(FF_{16}\)

6. Konvertering mellem Binær og Hexadecimal¶

Nøgleprincip: 4 binære cifre = 1 hexadecimalt ciffer

Konverteringstabel:

Binær	Hex	Decimal
0000	0	0
0001	1	1
0010	2	2
0011	3	3
0100	4	4
0101	5	5
0110	6	6
0111	7	7
1000	8	8
1001	9	9
1010	A	10
1011	B	11
1100	C	12
1101	D	13
1110	E	14
1111	F	15

Fra Binær til Hexadecimal:

Gruppér binære cifre i grupper af 4 (fra højre)
Tilføj foranstillede nuller hvis nødvendigt
Konverter hver gruppe til det tilsvarende hexadecimale ciffer

Eksempel: \(11010111_2\) til hexadecimal

Gruppér: \(1101|0111\)
Konverter: \(1101_2 = D_{16}\), \(0111_2 = 7_{16}\)
Resultat: \(D7_{16}\)

Fra Hexadecimal til Binær:

Konverter hvert hexadecimalt ciffer til 4 binære cifre
Sammensæt resultaterne

Eksempel: \(A3_{16}\) til binær

\(A_{16} = 1010_2\)
\(3_{16} = 0011_2\)
Resultat: \(10100011_2\)

7. Binær Addition¶

Binær addition følger simple regler:

\(0 + 0 = 0\)
\(0 + 1 = 1\)
\(1 + 0 = 1\)
\(1 + 1 = 10_2\) (0 med transport af 1)

Eksempel: \(1011_2 + 1101_2\)

\[ \begin{array}{rr} & 1011 \\ + & 1101 \\ \hline & 11000 \\ \end{array} \]

Trinvis:

\(1 + 1 = 10_2 \rightarrow \text{skriv 0, transport 1}\)
\(1 + 0 + (\text{transport}) 1 = 10_2 \rightarrow \text{skriv 0, transport 1}\)
\(0 + 1 + (\text{transport}) 1 = 10_2 \rightarrow \text{skriv 0, transport 1}\)
\(1 + 1 + (\text{transport}) 1 = 11_2 \rightarrow \text{skriv 11}\)

8. Binær Multiplikation¶

Binær multiplikation følger reglerne:

\(0 \times 0 = 0\)
\(0 \times 1 = 0\)
\(1 \times 0 = 0\)
\(1 \times 1 = 1\)

Eksempel: \(101_2 \times 11_2\)

\[ \begin{array}{r} 101 \\ \times \quad 11 \\ \hline 101 \\ 1010 \\ \hline 1111 \\ \end{array} \]

9. Praktiske Tips¶

Hurtige konverteringer:

Potenser af 2: \(2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128, 2^8=256\)
Hexadecimal bogstaver: Husk \(A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15\)

Fejlkontrol:

Tjek altid om dit resultat giver mening i størrelsesorden
Ved konvertering til binær: er antallet af cifre rimeligt?
Ved hexadecimal: er cifrene gyldige (0-9, A-F)?

10. Anvendelse i Programmering¶

Hvorfor er dette vigtigt for softwareudvikling?

Binær: Computere arbejder internt med binære tal
Hexadecimal: Bruges til at repræsentere binære data kompakt (f.eks. farver: #FF0000)
Bit-operationer: Manipulation af individuelle bits i programmering
Hukommelsesadresser: Ofte vist i hexadecimal
Debugging: Forståelse af hvordan data gemmes og manipuleres

Opsummering¶

I denne tutorial har du lært de grundlæggende principper for talsystemer og konvertering mellem dem. Husk følgende nøglepunkter:

Positionsværdi er fundamentet for alle talsystemer
Gentagen division er den sikre metode til konvertering fra decimal
4 binære cifre = 1 hexadecimalt ciffer - denne sammenhæng er guld værd
Øv dig i at genkende almindelige mønstre og potenser af 2

Disse færdigheder er essentielle for forståelse af hvordan computere behandler data og vil hjælpe dig gennem hele din uddannelse som softwareingeniør.

Almindelige Faldgruber¶

Positionsrækkefølge: Husk at potenserne starter fra højre med potens 0
Hexadecimale bogstaver: A-F repræsenterer 10-15, ikke 1-6
Foranstillede nuller: Ved binær til hex gruppering, tilføj nuller til venstre om nødvendigt
Transport ved addition: Glem ikke at overføre 1 til næste position ved \(1+1\)
Ciffer-validering: Sørg for kun at bruge gyldige cifre for det pågældende talsystem