Øvelser 1:
Regneregler og algebraisk manipulation
I skal lave øvelserne inden timerne torsdag. I kan med fordel lave dem i grupper og diskutere dem indbyrdes. Det er vigtigt, at I forstår opgaverne og kan forklare dem til hinanden. På torsdag diskuterer vi opgaverne, og I skal være klar til at præsentere dem for klassen.
Øvelse 1:¶
Løs følgende ligninger:
- \(\ 2-\frac{4 x+3}{x+x^2}=\frac{2 x}{x+1}-\frac{5}{x}\)
- \(\ -2+2 \ln 3 x=17\)
- \(\ \ln (x+1)^2=2\)
- \(\ \ln \left(x^2+1\right)=8\)
- \(\ 5^{3 x+2}=25^{x-1}\)
- \(\ 2^{x+1}=4^{x-2}\)
- \(x = -\frac{2}{3}\)
- \(x = \frac{e^{\frac{19}{2}}}{3}\)
- \(x = -1 \pm e\)
- \(x = \pm \sqrt{e^8 - 1}\)
- \(x = -4\)
- \(x = 5\)
Øvelse 2:¶
Ifølge Einsteins relativitetsteori gives massen af en partikel ved:
hvor \(m_0\) er massen af partiklen i hvile, \(v\) er partiklens hastighed, og \(c\) er lysets hastighed i vakuum.
-
Gør \(v\) til subjektet i formlen givet \(v>0\).
\(v=c \cdot \sqrt{1-\left(\frac{m_0}{m}\right)^2}\)
-
Find den hastighed, der er nødvendig for at øge massen af en partikel til tre gange dens hvilemasse. Giv værdien for \(v\) som en brøkdel af \(c\) (eller som en decimal).
\(v=0.943 c\)
Øvelse 3¶
Bestem definitionsmængden og værdimængden for hver af de reelle funktioner nedenfor. Det er en god idé at plotte funktionerne ved hjælp af software (f.eks. Geogebra, WolframAlpha osv.):
-
\(\ f(x)=\frac{1}{x-7}\)
Definitionsmængde: \(\mathbb{R} \backslash\{7\}\);
Værdimængde: \(\mathbb{R} \backslash\{0\}\)
-
\(\ f(x)=\sqrt{x+3}\)
Definitionsmængde: \(\mathbb{R}_ {\geq-3}\);
Værdimængde: \(\mathbb{R}_ {\geq 0}\)
Øvelse 4¶
Find hver af de følgende sammensatte funktioner:
-
\(\ g \circ f\) når \(f(x)=3 x+1\) og \(g(x)=x^2\).
\((g \circ f)(x)=9 x^2+1+6 x\)
-
\(f \circ g\) når \(f(x)=x^2+1\) og \(g(x)=\frac{1}{x}\).
\((f \circ g)(x)=\frac{1}{x^2}+1\)
-
\(\ g \circ f\) når \(f\) og \(g\) er defineret som i øvelse (2).
\((g \circ f)(x)=\frac{1}{x^2+1}\)
Øvelse 5¶
Find den inverse funktion:
-
\(\ f(x)=\frac{6}{5-x}\)
\(f^{-1}(x)=5-\frac{6}{x}\)
-
\(\ f(x)=-\ln (1-2 x)+1\)
\(f^{-1}(x)=\left(1-e^{1-x}\right) / 2\)
-
\(\ f(x)=2 \cdot 10^{3 x}-1\)
\(f^{-1}(x)=\frac{\log \left(\frac{x+1}{2}\right)}{3}\)
Øvelse 6¶
En bakteriekultur starter med 1000 bakterier ved tiden \(t=0\), og antallet fordobles hver 40. minut.
-
Find et funktionelt udtryk for antallet af bakterier ved tiden \(t\) (målt i minutter).
\(f(t)=1000 \cdot 2^{t / 40}\)
-
Find antallet af bakterier efter en time.
\(f(60) \approx 2828\)
-
Efter hvor mange minutter vil der være 50000 bakterier?
ca. 225.75 minutter
Øvelse 7¶
Bestem, om den givne funktion er inverterbar ved at kontrollere, om den er injektiv (en-til-en) og surjektiv (på). Hvis du konkluderer, at funktionen er inverterbar, bestem dens inverse funktion.
-
\(f: R \backslash\{1\} \rightarrow R \backslash\{0\}, f(x)=\frac{2}{x-1}\)
Funktionen er inverterbar.
\(f^{-1}(x)=\frac{2}{x}+1\)
-
\(f: R \backslash\{3\} \rightarrow R, f(x)=\frac{x+1}{x-3}\)
Funktionen er ikke surjektiv, derfor er den ikke inverterbar.
-
\(f: R \rightarrow R, f(x)=x^3-3 x\)
Funktionen er ikke injektiv, derfor er den ikke inverterbar.
Udfordringsøvelser¶
Nogle andengradspolynomier har ikke nogen rødder blandt de reelle tal. For eksempel opfylder ingen reel værdi af \(x\) ligningen \(x^2+1=0\). Men hvis vi definerer det imaginære tal \(i=\sqrt{-1}\), ser vi, at ligningen er sand for \(x= \pm i\) :
Udfordringsøvelse 1¶
Løs ligningerne nedenfor (en andengradsligning med imaginære rødder løses på samme måde som en almindelig andengradsligning.):
-
\(9 x^2+64=0\)
\(x= \pm \frac{8}{3} i\)
-
\(x^2+10 x+169=0\)
\(x=-5 \pm 12 i\)
-
\(6 x^2+13 ix-2=0\)
\(x=-\frac{1}{6} i\) eller \(x=-2 i\)
Udfordringsøvelse 2¶
Vis, at værdien af hvert af udtrykkene nedenfor er reel (dvs. indeholder ikke \(i\) ):
-
\((1+i)(1-i)\)
\((1+i)(1-i)=2\)
-
\((a+b i)(a-b i)\)
\((a+b i)(a-b i)=a^2-b^2 i^2=a^2+b^2\)
Udfordringsøvelse 3¶
Beregn eller reducer hvert af udtrykkene nedenfor:
-
\(i^{2017}\)
\(i\)
-
\(\frac{1}{2+3 i}+\frac{1}{2-3 i}\)
\(\frac{4}{13}\)
-
\(\frac{1+i}{1-i}\)
\(i\)