Gå til indholdet

M2: Undervisning 1 - gennemgang af eksempler

Til undervisningen gennemgår jeg eksempler, der understøtter og eksemplificerer de emner, vi har dækket i videoerne. Det er vigtigt at forstå, hvordan disse koncepter anvendes i praksis, og hvordan de kan hjælpe dig med at løse problemer inden for softwareudvikling. Denne session foregår synkront på Teams og I kan under undervisningen stille spørgsmål og deltage aktivt i diskussionen. Det er en god mulighed for at få afklaret eventuelle tvivlsspørgsmål og få en dybere forståelse af emnerne. Videoen lægges op efterfølgende, så du kan se den igen, hvis du ønsker det.

Eksempler

Det er ikke et krav, at I har kigget på eksemplerne før undervisningen, men det kan være en fordel. I vil også kunne finde videoen fra undervisningen nedenfor, når den er klar. Jeg gennemgår følgende eksempler.

Eksempler fra undervisning 1

Eksempel 1: Løs ligninger vha. regneregler for eksponenter og logaritmer

Løs følgende ligninger:

  1. \(\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2 x}\)
  2. \(\frac{y+5}{y-7}-2=-\frac{y+7}{y-5}\)
  3. \(\ln \sqrt{x+2}=1\)
  4. \(4 \log _{10}(x-6)=11\)
  5. \(8^{-x}=2^{x-8}\)

  6. \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}=4^{2-3 x}\)

     
    1. \(x=1\)
    2. \(y=6\)
    3. \(x=e^2-2\)
    4. \(x=10^{\frac{11}{4}}+6\)
    5. \(x=2\)
    6. \(x=\frac{1}{2}\)

Eksempel 2: Isoleringsmetoden

Den fejl, der er forbundet med statistisk usikkerhed, er givet ved

\[ E=Z_{1-\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

hvor \(Z_{1-\alpha}\) er z-scoren forbundet med den standard normale fordeling, \(\sigma\) er standardafvigelsen, og \(n\) er stikprøvestørrelsen.

  1. Omarranger ovenstående formel, så stikprøvestørrelsen, \(n\) bliver subjektet:

     

    \(n = \left(\frac{Z_{1-\alpha} \cdot \sigma}{E}\right)^2\)

  2. Antag en z-score på 1,96 og en standardafvigelse på 2. Hvilken stikprøvestørrelse er nødvendig for at have en fejl på højst 0,5?

     
    \[ n = \left(\frac{1.96 \cdot 2}{0.5}\right)^2 = 61,47 \]

    Stikprøvestørrelsen skal derfor være mindst 62 (afrundet opad).

Eksempel 3: Definitionsmængde og værdimængde

Bestem definitionsmængden og værdimængden for hver af de reelle funktioner nedenfor. Det er en god idé at plotte funktionerne ved hjælp af software (f.eks. Geogebra, WolframAlpha osv.):

  1. \(\\ f(x)=\frac{1}{x-5}\)

  2. \(g(x)=\sqrt{2 x-4}\)

     

    a. Definitionsmængde: \(\mathbb{R} \backslash\{5\}\); Værdimængde: \(\mathbb{R} \backslash\{0\}\)

    b. Definitionsmængde: \(\mathbb{R}_{\geq 2}\); Værdimængde: \(\mathbb{R}_{\geq 0}\)

Eksempel 4: Sammensatte funktioner

Find hver af de følgende sammensatte funktioner:

  1. \(\\ g \circ f\) når \(f(x)=3 x+1\) og \(g(x)=x^2\).

     

    \((g \circ f)(x)=9 x^2+1+6 x\)

  2. \(f \circ g\) når \(f(x)=x^2+1\) og \(g(x)=\frac{1}{x}\).

     

    \((f \circ g)(x)=\frac{1}{x^2}+1\)

  3. \(\\ g \circ f\) når \(f\) og \(g\) er defineret som i øvelse (b).

     

    \((g \circ f)(x)=\frac{1}{x^2+1}\)

Eksempel 5: Inverse funktioner

Find den inverse funktion:

  1. \(\\ f(x)=\frac{6}{5-x}\)

     

    \(f^{-1}(x)=5-\frac{6}{x}\)

  2. \(\\ f(x)=-\ln (1-2 x)+1\)

     

    \(f^{-1}(x)=\left(1-e^{1-x}\right) / 2\)

Eksempel 6: Komplekse logaritmeligninger

Løs ligningerne:

  1. \(\\ e^{2 x}-3 e^x+2=0\)

     
    • \(e^x=1 \Rightarrow x=0\)
    • \(e^x=2 \Rightarrow x=\ln(2)\)

  2. \(\\ \ln (x+3)+\ln (x+5)=0\)

     
    • \(x = -4 + \sqrt{2}\)

Undervisning 1: Videolektion